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学生的T分配

经过 ,博士学位

A random variable X has a 标准学生的T分配 with n 如果它可以写成一个自由度 ratio[eq1]之间 a 标准正常随机变量 Y 和一个平方根 伽玛 random variable Z with parameters n and $h=1$, independent of Y.

Equivalently, we can write[eq2]在哪里 $ chi _ {n} ^ {2} $ is a Chi-Square随机变量 with n 自由度(如果我们除以 n 一个奇方随机变量 n 自由度,我们通过参数获得伽马随机变量 n and $h=1$ - 查看题为题为的讲座 Gamma distribution )。

A random variable X has a 非标准学生的T分配 和 mean  亩 , scale 西格玛^ 2. and n 如果它可以写成一个线性变换,自由度 标准学生的T随机 variable:[eq3]在哪里 Y and Z 定义为以前。

学生的T分配的重要性源于比率和比率的事实 通常遇到这种线性变换的比率 统计(参见,例如,题为题为题为有权的讲座 关于平均值的假设测试 )。

我们首先介绍标准学生的T分发。我们然后处理 非标准学生的T分配。

目录

标准学生的T分配

标准学生的T发行是学生T的特殊情况 分配。首先解释这个特殊情况,阐述了 更加普遍促进。

定义

标准学生的T分配的特点是如下。

定义 X be a continuous random variable。让它 support be the whole set of real numbers:[eq4][eq5]. We say that X has a 标准学生的T分配 with n degrees 如果且才有才能自由 probability density function is[eq6]在哪里  $ C $ is a constant:[eq7]$ bleft({}
Ight)$ is the Beta function.

具有标准学生T分发的随机变量也称为a 标准学生的T随机变量。

通常自由度的数量是整数 ($ nin u {2115} $ ), 但它也可以是真实的 ([eq5] )。

与正常和伽玛分布的关系

标准学生的T随机变量可以写成正常随机 变量,其方差等于伽马随机变量的倒数, 如下列命题所示。

命题(积分 representation) 概率密度函数 X can be written as[eq9]在哪里:

  1. [eq10] 是a的概率密度函数 normal distribution 和 mean 0 and variance [eq11]:[eq12]

  2. [eq13] 与参数伽马随机变量的概率密度函数 n and $h=1$:[eq14]在哪里[eq15]

证明

我们需要证明 that[eq16]在哪里[eq17][eq18] 让 我们从Integrand函数开始: [eq19]在哪里 [eq20][eq21] 是具有伽马的随机变量的概率密度函数 分发参数 $n+1$ and [eq22]. Therefore:[eq23]

Of course, if X 是一个零平均正常随机变量,方差 $1/z$, conditional on $ z = z $, then we can think of X as a ratio[eq24]在哪里 Y 具有标准的正态分布, Z 有一个伽玛分布和 Y and Z are independent.

期望值

The expected value 标准学生的T随机 variable X 是非常定义的 $n>1$ and it is equal to[eq25]

证明

它从密度的事实中遵循 功能是对称的 0:[eq26] 这 以上积分是有限的(并且因此预期值是明确定义的) $n>1$ because[eq27] 和 上述限制仅限为有限的 $n>1$.

方差

The variance 标准学生的T随机 variable X 是非常定义的 $n>2$ and it is equal to[eq28]

证明

它可以归因于通常 方差 formula ([eq29]) 并达到β的积分表示 function:[eq30]从 上面的推导,应该清楚的是,方差是明确定义的 only when $n>2$. Otherwise, if $ nleq 2 $, 上述不正确的积分不会收敛(并且测试函数不是 well-defined).

更高的时刻

The k - moment 标准学生的T随机变量 X 是非常定义的 $k<n$ and it is equal to[eq31]

证明

通过使用时刻的定义,我们 get[eq32]所以, to compute the k - 时刻并验证它是否存在并且是有限的,我们需要研究 following integral:[eq33]从 上面的推导,应该清楚的是 k - 瞬间只是在何时定义 $n>k$. Otherwise, if $ nleq k $, 上述不合适的积分不会收敛(积分涉及测试版 函数,它是明确的,只有在其参数所在时才会定义和收敛 严格积极 - 仅在这种情况下 $ frac {n-k} {2}>0$ )。 Therefore, the k - moment of X is[eq34]

时刻产生功能

标准学生的T随机变量 X does not possess a 片刻 generating function.

证明

当一个随机变量 X 拥有片刻产生功能,然后是 k - moment of X 存在,有限的任何 $ kin u {2115} $. 但我们证明了 k - moment of X exists only for $k<n$. Therefore, X 不能有片刻生成函数。

特征功能

标准的特征函数没有简单的表达 学生的T分布。它可以以a的方式表达 Modified 第二种贝塞尔功能 (一定差异的解决方案 等式称为改进的贝塞尔的微分方程)。有兴趣: reader can consult Sutradhar (1986).

分配功能

没有简单的公式 分配功能 [eq35] 标准学生的T随机变量 X because the integral[eq36]不能 以基本职能表示。因此,通常是 需要诉诸计算机算法来计算值 [eq37]. 例如,matlab command:[eq38]回报 点的分布函数的值 x when the degrees of freedom parameter is equal to n.

学生的T分布一般

在前面的一部分中,我们将注意力限制在学生的t 分布零均值和单位规模,我们现在处理一般情况。

定义

学生的T分配表征如下。

定义 Let X 是一个连续的随机变量。让它的支持是整个真实的 numbers:[eq39]$ mu {211d} $, [eq40] and [eq5]. We say that X has a 学生的T分配 和 mean  亩 , scale 西格玛^ 2. and n degrees 如果且仅在其概率密度函数时 is[eq42]在哪里  $ C $ is a constant:[eq7]$ bleft({}
Ight)$ 是测试功能。我们表示 X 有一个平均值的t分布  亩 , scale 西格玛^ 2. and n degrees of freedom by[eq44]

具有学生T分发的随机变量也被称为学生 t random variable.

为了更好地了解学生的T分配,您可以看看它 density plots.

标准与一般之间的关系

A random variable X 这具有与平均值的T分布  亩 , scale 西格玛^ 2. and n 自由度是一个线性函数 standard 学生的T随机变量:

主张 If [eq45], then[eq46]在哪里 Z 是具有标准T分布的随机变量。

证明

可以使用公式来容易证明这一点 for the 一个函数的密度 continuous variable ([eq47] 是一个严格越来越多的功能 Z, since $ sigma $ is strictly positive):[eq48]明显地, 然后,标准T分布只是具有平均值的正态分布 $ mu = 0 $ and scale $ sigma ^ {2} = 1 $.

期望值

学生T随机变量的预期价值 X 是非常定义的 $n>1$ and it is equal to[eq49]

证明

这是事实的立即后果 that $ x = mu + sigma z $ (where Z 具有标准的T分配)和预期的线性度 value:[eq50] 作为 we have seen above, [eq51] 是非常定义的 $n>1$ 而且,结果也是如此 [eq52] 是非常定义的 $n>1$.

方差

学生T随机变量的方差 X 是非常定义的 $n>2$ and it is equal to[eq53]

证明

它可以使用公式派生 仿射变换的差异 on $ x = mu + sigma z $ (where Z has a standard t distribution):[eq54] 作为 we have seen above, [eq55] 是非常定义的 $n>2$ 而且,结果也是如此 [eq56] 是非常定义的 $n>2$.

时刻产生功能

学生的T随机变量 X 没有瞬间产生函数。

证明

这是事实的结果 $ x = mu + sigma z $ (where Z 有一个标准的t分配)和一个事实 standard 学生的T随机变量 没有瞬间发电功能 (see above).

特征功能

没有简单的表达学生的特征函数 T分布(参见上面的评论,标准案例)。

分配功能

至于标准T分布(见上文),没有简单的公式 分发功能 [eq57] 学生的T随机变量 X 通常需要诉诸计算机算法来计算 values of [eq58]. 大多数计算机程序仅提供计算的例程 标准T分布函数(表示它 [eq59] )。 在这些情况下,我们需要进行转换,如 follows:[eq60] 为了 example, the MATLAB command:[eq61]回报 the value at the point x 的 分发功能 学生的T随机变量 with mean , scale sigman 程度 of freedom.

更多细节

以下部分包含有关T分发的更多详细信息。

融合到正态分布

学生的T分布与平均值  亩 , scale 西格玛^ 2. and n degrees of freedom 分配融合 与平均分布  亩 and variance 西格玛^ 2. 当自由度的数量 n 变大(收敛到无穷大)。

证明

如前所述,如果  X_N. 有一个分配,它可以写成 as[eq62]在哪里 Y 是标准的正常随机变量, $ chi _ {n} ^ {2} $ 是一个chi-square随机变量 n 自由度,独立 Y. 此外,如题为题为题目的讲座 Chi-Square分布, $ chi _ {n} ^ {2} $ 可以写成一总体 n 独立标准正常随机变量 [eq63]:[eq64] 什么时候 n 倾向于无限, ratio[eq65]汇聚 in probability to [eq66], by the Law of Large Numbers。因此,通过 Slutsky's theorem,  X_N. 融合到分配到 [eq67]哪个 是一种正常随机变量,平均值  亩 and variance 西格玛^ 2..

非中央T分布

如上所述,如果 Y 具有标准的正态分布, Z 具有参数的伽玛分布 n and $h=1$ and Y and Z 是独立的,然后是随机变量 X defined as[eq68] 已 标准学生的T分发 n degrees of freedom.

鉴于相同的假设 Y and Z, 定义一个随机变量  $ w $ as follows:[eq69]在哪里 $ cin u {211d} $ is a constant.  $ w $ is said to have a 非中央标准学生的t distribution with n 自由度和非中心性参数  $ C $ . 我们不会在此讨论此分发的细节,但请注意 这种分布有时用于统计理论(也是小学 问题)和惯例来计算其时刻及其分布 功能可以在大多数统计软件包中找到。

密度图

本节显示了一些随机变量的密度的曲线 一个分布。这些地块帮助我们了解T的形状如何 通过更改其参数来分发更改。

绘制1-改变平均值

以下绘图包含两个学生的T概率密度的图表 functions:

通过改变平均值 $ mu = 0 $ to $ mu = 1 $, 密度的形状不会改变,但密度被翻译成 右(它的位置变化)。

学生的T密度图1

绘图2 - 改变规模

TIN以下情节:

通过更改比例参数 $ sigma = 1 $ to $ sigma = 2 $, 图表的位置不会改变(它保持为中心 0 ), 但是图形的形状发生变化(中心的密度较少 尾部的密度更多)。

学生的T密度图2

情节3 - 改变自由度

以下绘图包含两个学生的T概率密度的图表 functions:

通过增加自由度的程度 $n=5$ to $n=25$, 图表的位置不会改变(它保持为中心 0) 它的形状仅限于边际(尾部变薄)。

学生的T密度绘图3

解决练习

下面可以找到一些练习解释的解决方案。

练习1

Let X_1 是一个平均值的正常随机变量 $ mu = 0 $ and variance $ sigma ^ {2} = 4 $. Let X_2 与参数成为伽玛随机变量 $n=10$ and $h=3$, independent of X_1. 找到分布的 ratio[eq70]

解决方案

我们可以 write[eq71]在哪里 $ y = x_ {1} / 2 $ 具有标准的正态分布和 $ z = x_ {2} / 3 $ 具有参数的伽玛分布 $n=10$ and $h=1$. Therefore, the ratio[eq72] 已 标准学生的T分发 $n=10$ 自由度和 $ x $ 有一个学生的t分布,意思是 $ mu = 0 $, scale $ sigma ^ {2} = 4/3 $ and $n=10$ degrees of freedom.

练习2

Let X_1 是一个平均值的正常随机变量 $ mu = 3 $ and variance $ sigma ^ {2} = 1 $. Let X_2 与参数成为伽玛随机变量 $n=15$ and $h=2$, independent of X_1. 找到随机的分布 variable[eq73]

解决方案

我们可以 write[eq74]在哪里 $ y = x_ {1} -3 $ 具有标准的正态分布和 $ z = x_ {2} / 2 $ 具有参数的伽玛分布 $n=15$ and $h=1$. Therefore, the ratio[eq75] 已 标准的间谍T分配 $n=15$ degrees of freedom.

练习3.

Let X 是学生的t随机变量,意思 $ mu = 1 $, scale $ sigma ^ {2} = 4 $ and $n=6$ degrees of freedom. Compute[eq76]

解决方案

首先,我们需要写下 概率方面的概率 分配功能 of X:[eq77]然后, 我们表达了分发功能 X 就标准学生的分布函数随机而言 variable Z with $n=6 $ degrees of freedom:[eq78] 所以 that:[eq79]在哪里 the difference [eq80] 可以用计算机算法计算,例如使用MATLAB command

tcdf(0,6)-tcdf(-1/2,6)

参考

Sutradhar,B. C.(1986) 关于特征函数 多变量学生T分布,加拿大统计日报, 14, 329-337.

如何引用

请引用:

Taboga, Marco (2017). "学生的T分配", Lectures on probability theory and mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.enerxy-china.com/probability-distributions/student-t-distribution.

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