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Multinoulli分布

经过 ,博士学位

Multinoulli分布(有时也称为分类分发) 是概括的 Bernoulli distribution。如果您执行只有两种结果的实验 (成功或失败),然后是一个随机变量,在情况下取值1 在失败的情况下,成功和值0是伯努利随机变量。如果 你执行一个可以拥有的实验 K 结果,你表示 $ x_ {i} $ 如果获得值1,则需要值1的随机变量 i - 结果和0否则,然后随机向量 X defined as[eq1]是 多重oulli随机向量。换句话说,当 i - 获得结果,是 i - 进入multinoulli随机向量 X takes value 1, 虽然所有其他条目都有价值 0.

在遵循的概率中 K 可能的结果将被表示为 [eq2].

目录

定义

分布的特征如下。

定义 Let X be a Kx1 离散随机向量. Let the support of X be the set of Kx1 有一个进入的载体等于 1 所有其他条目等于 0:[eq3]$ p_ {1} $, ..., $ p_ {k} $ be K 严格的积极数字 that[eq4]我们 say that X has a Multinoulli分布 with probabilities $ p_ {1} $, ..., $ p_ {k} $ if its joint 概率质量功能 is[eq5]

如果您对联合PMF的上述定义感到困惑,请注意何时 [eq6] and $ x_ {i} = 1 $ because the i - 已经获得了结果,那么所有其他条目都等于 0 and[eq7]

期望值

The expected value of X is[eq8]在哪里 the Kx1 vector p is defined as follows:[eq9]

证明

i - entry of X, denoted by X_I., is an indicator function 的 the event "这 i - 结果发生了“。因此,其预期值等于 事件的可能性 indicates:[eq10]

协方差矩阵

协方差矩阵 X is[eq11]在哪里 Sigma. is a $ kimes k $ 矩阵常规条目 is[eq12]

证明

我们 需要使用公式(请参阅题为有权的讲座 Covariance matrix):[eq13]如果 $ j = i $, then[eq14]在哪里 我们已经使用了这个事实 $ x_ {i} ^ {2} = x_ {i} $ because X_I. can take only values 0 and 1. If $j
eq i$, then[eq15]在哪里 我们已经使用了这个事实 $ x_ {i} x_ {j} = 0 $, because X_I. and $ x_ {j} $ 不能等于 1 at the same time.

联合力矩产生功能

The 联合力矩产生功能 of X is defined for any $ tin u {211d} ^ {k} $:[eq16]

证明

如果 the $ j $ - 然后获得结果 $ x_ {i} = 0 $ for $i
eq j$ and $ x_ {i} = 1 $ for $ i = j $. As a consequence,[eq17]和 联合力矩产生功能 is[eq18]

联合特征功能

The 联合的 characteristic function of X is[eq19]

证明

如果 the $ j $ - 然后获得结果 $ x_ {i} = 0 $ for $i
eq j$ and $ x_ {i} = 1 $ for $ i = j $. As a consequence,[eq20]和 联合特征功能 is[eq21]

更多细节

以下部分包含有关Multinoulli的更多详细信息 distribution.

Multinoulli与何处的关系 多项分布

独立的多重随机变量的总和是多项式随机 多变的。这是讨论并证明了题为题为的讲座 Multinomial distribution.

如何引用

请引用:

Taboga, Marco (2017). "Multinoulli分布", Lectures on probability theory and mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.enerxy-china.com/probability-distributions/multinoulli-distribution.

这本书

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