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记录正态分布

经过 ,博士学位

如果自然,则据说随机变量具有对数正态分布 logarithm has a normal distribution。换句话说,正常随机变量的指数 具有日志正态分布。

目录

定义

日志正常随机变量的特征如下。

定义 Let X be a continuous random variable。让它 support be the set 严格积极的真实 numbers:[eq1]我们 say that X has a 记录正态分布 with parameters 亩 and 西格玛^ 2. 如果其概率密度函数 is[eq2]

与正态分布的关系

与正常分布的关系如下所述 proposition.

主张 Let Y 是一个平均值的正常随机变量 亩 and variance 西格玛^ 2.. Then the variable[eq3]已 具有参数的日志正态分布 亩 and 西格玛^ 2..

证明

如果 Y 具有正态分布,然后是其概率密度函数 is[eq4]这 function[eq5]是 严格增加,所以我们可以使用 formula 为了严格增加的密度 function[eq6]在 particular, we have[eq7]所以 that[eq8]

期望值

The expected value 日志正常随机变量 X is[eq9]

证明

它 can be derived as follows:[eq10]在哪里: in step $ rame {a} $ 我们已经改变了 variable[eq11]和 in step $ rame {b} $ 我们已经使用了这个事实 [eq12]是 平均值的正常随机变量的密度函数 $ sigma $ 和单位方差,因此,其积分等于 1.

方差

The variance 日志正常随机变量 X is[eq13]

证明

让 美国首先派生了第二时刻 [eq14]在哪里: in step $ rame {a} $ 我们已经改变了 variable[eq15]和 in step $ rame {b} $ 我们已经使用了这个事实 [eq16]是 平均值的正常随机变量的密度函数 $ 2sigma $ 和单位方差,因此,其积分等于1.我们可以 now use the 方差 formula [eq17]

更高的时刻

The n - moment 的 a log-normal random variable X is[eq18]

证明

它 可以衍生如下: [eq19]在哪里: in step $ rame {a} $ 我们已经改变了 variable[eq20]和 in step $ rame {b} $ 我们已经使用了这个事实 [eq21]是 平均值的正常随机变量的密度函数 $ nsigma $ 和单位方差,因此,其积分等于 1.

时刻产生功能

日志正态分布没有 时刻产生功能.

特征功能

一个封闭的公式 特征功能 of 记录正常随机变量未知。

分配功能

The 分配功能 [eq22] 日志正常随机变量 X can be expressed as[eq23]在哪里 [eq24] 是标准正常随机变量的分布函数。

证明

我们证明了上面是一个逻辑正常 variable X can be written as[eq25]在哪里 Y 具有平均值的正态分布 亩 and variance 西格玛^ 2.. In turn, Y can be written as[eq26]在哪里 Z 是标准的正常随机变量。作为一个 consequence,[eq27]

如何引用

请引用:

Taboga, Marco (2017). "记录正态分布", Lectures on probability theory and mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.enerxy-china.com/probability-distributions/log-normal-distribution.

这本书

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