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几何分布

经过 ,博士学位

几何分布是概率分布的数量 在我们获得第一个之前,我们通过重复伯努利实验进行失败 success.

目录

直觉

Consider a Bernoulli experiment,也就是说,具有两种可能结果的随机实验: 成功或失败。

我们重复实验,直到我们得到第一个成功,然后我们计算 number X 在记录成功之前我们面临的失败。

由于实验是随机的, X is a random variable。如果重复实验 independent 彼此,然后分布 $ x,$, 我们将在下面学习,被称为几何分布。

例子 如果我们折腾硬币直到我们获得头部,首先是第一个之前的尾巴数量 头部有几何分布。

在本讲座结束时,我们还将研究一个轻微的变体 几何分布,称为移位几何分布。后者是 试验总数的分布(所有故障+第一个 成功)。换句话说,如果 X 那么有一个几何分布 $X+1$ 有移动的几何分布。

定义

几何分布的特征在于。

定义 Let X be a discrete random variable。让 [eq1]. Let the support of X 是非负面的一组 integers[eq2]我们 say that X has a 几何分布 with parameter p if its probability mass function is[eq3]

以下是证明 [eq4] is a 合法概率质量功能.

证明

概率 [eq5] 对任何有明确的定义和非负面 x because [eq6]. 我们只需要证明这一总和 [eq7] 超过其支持等于 1: [eq8]在哪里 in step $ rame {a} $ we have used the 公式 for geometric series.

与Bernoulli分配的关系

正如我们在介绍中所说,几何分布与之相关 伯努利分布。

请记住,Bernoulli随机变量等于 1 (成功)概率 p and to 0 (失败)具有概率 $1-p$.

主张 Let [eq9] 是一系列与参数的独立Bernoulli随机变量 p. 然后,对于任何整数 $ xgeq 0 $, the probability that $ b_ {n} = 0 $ for $ nleq x $ and $ b_ {x + 1} = 1 $ is[eq10]在哪里 [eq11] 是几何分布与参数的概率质量函数 p.

证明

由于Bernoulli随机变量是 independent, we have that[eq12]

期望值

The expected value 几何随机变量 X is[eq13]

证明

它可以衍生成 follows:[eq14]

方差

The variance 几何随机变量 X is[eq15]

证明

让我们首先派生 second moment of X:[eq16]现在, we can use the variance formula:[eq17]

时刻产生功能

The 时刻产生功能 的 a 几何随机变量 X is defined for any [eq18]:[eq19]

证明

这被证明是如此 follows:[eq20]在哪里 the series in step $ rame {a} $ converges only if [eq21]那 is, only if[eq22]经过 采取双方的自然日志,条件 becomes[eq23]

特征功能

The 特征功能 几何随机 variable X is[eq24]

证明

证明类似于证明 mgf:[eq25]

分配功能

The 分配功能 几何随机变量 X is[eq26]

证明

为了 $x<0$, [eq27], because X 不能小于 0. For $ xgeq 0 $, we have[eq28]

移动几何分布

正如我们在介绍中所说,几何分配是 在第一次成功之前分配失败的试验数量的分布 移位的几何分布是分布总数 试验(所有故障+第一个成功)。换句话说,如果 X 那么有一个几何分布 [eq29] 有移动的几何分布。

然后源于转移几何的属性是简单的 distribution.

It expected value is[eq30]

Its variance is[eq31]

它的时刻产生函数是 [eq32]:[eq33]

它的特征功能 is[eq34]

它的分销功能 is[eq35]

与指数分布的关系

几何分布被认为是指数的离散版本 distribution.

假设伯努利实验以相等的时间间隔进行。然后, 几何随机变量 X 是在离散单位中测量的时间,在我们获得之前已经过去了 第一次成功。但如果我们想建模在特定事件之前经过的时间 在连续时间内发生,然后使用适当的分配是 指数分布(请参阅介绍 this lecture)。

从数学观点来看,几何分布享有相同的 记忆的财产 被指数所拥有的 distribution:

解决练习

下面可以找到一些练习解释的解决方案。

练习1

在每一天,我们发挥彩票,其中赢得了冠军 $1%$. 在我们之前将经过的天数的预期值是多少? 第一次赢?

解决方案

每次我们玩彩票时, 结果是伯努利随机变量(如果我们获胜,则等于1),具有参数 $ p = 0.01 $. 因此,获胜前的天数是几何随机变量 with parameter $ p = 0.01 $. Its expected value is[eq36]

如何引用

请引用:

Taboga, Marco (2017). "几何分布", Lectures on probability theory and mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.enerxy-china.com/probability-distributions/geometric-distribution.

这本书

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