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伽玛分布

通过 博士

Gamma分布可以被认为是 卡方分布.

If a random variable Z 具有卡方分布 n 自由度和 $ h $ 是严格的正常数,然后是随机变量 X defined as [eq1]拥有 具有参数的Gamma分布 n and $ h $.

目录

定义

伽玛随机变量的特征如下。

定义 Let X be a continuous random variable。让它 support 是 the set of positive real numbers:[eq2][eq3]. We say that X has a 伽玛分布 与 parameters n and $ h $ if and only if its probability density function is[eq4]哪里 $ c $ is a constant:[eq5][eq6] is the 伽玛 function.

具有伽马分布的随机变量也称为伽马随机 variable.

为了更好地了解Gamma分布,您可以看一下 density plots.

期望值

The expected value Gamma随机变量的 X is[eq7]

证明

它 can be derived as follows:[eq8]

方差

The variance Gamma随机变量的 X is[eq9]

证明

它 可以归功于平常 方差 formula ([eq10]):[eq11]

瞬间产生功能

The 力矩产生功能 of a Gamma random variable X is defined for any $ frac {n} {2h} $:[eq12]

证明

经过 使用力矩生成函数的定义,我们 obtain[eq13]哪里 the integral equals 1 因为它是伽玛概率密度函数的积分 带参数的随机变量 n and [eq14]. Thus,[eq15]的 当然,上述积分仅在以下情况下收敛 [eq16], i.e. only if $ frac {n} {2h} $. 因此,存在伽玛随机变量的矩产生函数 for all $ frac {n} {2h} $.

特征功能

The 特征函数 of a Gamma random variable X is[eq17]

证明

它可以通过使用 特征函数和泰勒级数 expansion:[eq18]

分配功能

The 分配功能 Gamma随机变量的 is[eq19]哪里 the function[eq20]是 called 下不完全伽玛函数 和 is 通常使用专门的计算机算法进行评估。

证明

这证明为 follows:[eq21]

更多细节

在以下小节中,您可以找到有关Gamma的更多详细信息 distribution.

伽玛分布是缩放的卡方分布

If a variable X 具有参数的Gamma分布 n and $ h $, then[eq22]哪里 Z 具有卡方分布 n degrees of freedom.

证明

使用公式可以很容易地证明这一点 for the 连续函数的密度 variable ([eq23] 是严格增加的功能 Z, since $ frac {h} {n} $ is strictly positive):[eq24]这 卡方随机变量的密度函数 n degrees of freedom is[eq25]哪里 [eq26]因此,[eq27]哪一个 是具有参数的Gamma分布的密度 n and $ h $.

因此,卡方分布是伽玛分布的特例 because, when $ h = n $, we have[eq28]

换句话说,带有参数的Gamma分布 n and $ h = n $ 只是卡方分布 n degrees of freedom.

伽玛随机变量乘以严格正 常数是Gamma随机变量

通过将Gamma随机变量乘以严格的正常数, 获得另一个Gamma随机变量。如果 X 是具有参数的Gamma随机变量 n and $ h $, 然后是随机变量 Y defined as[eq29]拥有 具有参数的Gamma分布 n and $ ch $.

证明

使用结果可以很容易看出 from the previous subsection:[eq30]哪里 Z 具有卡方分布 n degrees of freedom. Therefore,[eq31]在 other words, Y 等于卡方误差为 n 自由度除以 n and multiplied by $ ch $. 因此,它具有带有参数的Gamma分布 n and $ ch $.

伽玛随机变量是法线平方的总和 random variables

在演讲中 卡方分布 we 解释了卡方随机变量 Z with n degrees of freedom (n 整数)可以写成的平方和 n 独立正态随机变量 $ W_ {1} $, ...,$ W_ {n} $ having mean 0 and variance 1:[eq32]

在前面的小节中,我们看到了一个变量 X 具有参数的Gamma分布 n and $ h $ can be written as[eq33]哪里 Z 具有卡方分布 n degrees of freedom.

将这两件事放在一起,我们 obtain[eq34]哪里 we have defined[eq35]但 the variables $ Y_ {i} $ 是具有均值的正常随机变量 0 and variance $ frac {h} {n} $. 因此,带有参数的Gamma随机变量 $ n $ and $ h $ 可以看成是 n 具有均值的独立正态随机变量 0 and variance $ h / n $.

密度图

此页面收集了一些 Gamma distribution。这些图帮助我们了解伽玛的形状 更改其参数时,分布也会更改。

情节1-均值相同,但自由度不同

下图包含两个伽玛概率密度的图 functions.

Because $h=3$ 在两种情况下,两个分布的均值相同。但是,通过 增加自由度的数量 $n=6$ to $n=8$, 分布的形状发生变化(自由度越大 分布越接近正态分布)。

垂直的细线表示两种分布的均值。

伽玛密度图1

情节2-均值不同,但均值相同 degrees of freedom

下图包含两个伽玛概率密度的图 functions:

增加参数 $ h $ 将分布的均值从 $2$ to $4$. 但是,两个分布具有相同的自由度数 ($n=6$)。 因此,它们具有相同的形状(一个是“ 其他”-在不同的范围内看起来完全一样)。

伽玛密度图2

解决的练习

您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。

练习1

Let X_1 and X_2 是两个独立的卡方随机变量 $3$ and $5$ 自由度分别。考虑以下随机 variables:[eq36]什么 他们有分布吗?

是卡方随机数的倍数 变量,变量 $ Y_ {1} $, $ Y_ {2} $ and $ Y_ {3} $ 都具有伽玛分布。随机变量 $ X_ {1} $ has $n=3$ 自由度和随机变量 $ Y_ {1} $ can be written as[eq37]哪里 $h=6$. Therefore $ Y_ {1} $ 具有带有参数的Gamma分布 $n=3$ and $h=6$. The random variable X_2 has $n=5$ 自由度和随机变量 $ Y_ {2} $ can be written as[eq38]哪里 $ h = 5/3 $. Therefore $ Y_ {2} $ 具有带有参数的Gamma分布 $n=5$ and $ h = 5/3 $. The random variable $ X_ {1} + X_ {2} $ 具有卡方分布 $ n = 3 + 5 = 8 $ 自由度,因为 X_1 and X_2 是独立的(请参阅标题为“ 卡方分布),以及随机 variable $ Y_ {3} $ can be written as[eq39]哪里 $h=24$. Therefore $ Y_ {3} $ 具有带有参数的Gamma分布 $n=8 $ and $h=24$.

练习2

Let X 是具有参数的Gamma分布的随机变量 $n=4 $ and $h=2$. 定义以下随机 variables:[eq40]

这些变量有什么分布?

将Gamma随机变量乘以 严格地,正常数仍然可以得到Gamma随机变量。在 特别是随机变量 $ Y_ {1} $ 是具有参数的Gamma随机变量 $n=4$ and [eq41] The random variable $ Y_ {2} $ 是具有参数的Gamma随机变量 $n=4$ and [eq42] The random variable $ Y_ {3} $ 是具有参数的Gamma随机变量 $n=4$ and [eq43]这 random variable $ Y_ {3} $ 也是卡方误差 $4$ 自由度(请记住,带有参数的Gamma随机变量 n and $ h $ 也是卡方随机变量 $ n = h $)。

练习3

Let X_1, X_2 and $ X_ {3} $ be mutually independent normal random 具有均值的变量 $ mu = 0 $ and variance $ sigma ^ {2} = 3 $. Consider the random variable[eq44]什么 distribution does X have?

随机变量 X can be written as [eq45]哪里 $ Z_ {1} $, $ Z_ {2} $ and $ Z_ {3} $ 相互独立 标准正常随机 variables。总和 [eq46] 具有卡方分布 $3$ 自由度(请参阅标题为“ 卡方分布)。因此 X 具有带有参数的Gamma分布 $n=3$ and $h=18$.

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "伽玛分布", Lectures on probability theory and mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.enerxy-china.com/probability-distributions/gamma-distribution.

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