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指数分布

通过 博士

指数分布是一种连续概率分布,用于 对给定事件发生之前我们需要等待的时间进行建模。它是 的连续对应 geometric distribution,而是离散的。

有时也称为负指数分布。

目录

介绍

给定区域发生地震之前需要多少时间?怎么样 我们需要等多久,直到客户进入我们的商店?要多久 在呼叫中心接到下一个电话之前要做什么?一块要多久 机械工作没有中断?

诸如此类的问题经常以概率的方式回答 使用指数分布。

所有这些问题都与我们在给定事件之前需要等待的时间有关 发生。如果这个等待时间未知,通常考虑一下 it as a random variable 具有指数 distribution.

大致来说,时间 X 如果事件发生,我们需要等待事件发生呈指数分布 该事件在特定时间间隔内发生的概率为 与该时间间隔的长度成正比。

More precisely, X 如果 conditional probability[eq1] 是 大约与长度成比例  $ Delta t $ 时间之间的时间间隔  $ t $ and  $ t +增量t $ , for any time instant  $ t $ .

在许多实际情况下,此属性非常现实。这是 指数分布被广泛用于建模等待的原因 times.

指数分布与泊松分布严格相关。 如果1)事件可能发生不止一次,以及2)两点之间经过的时间 连续出现呈指数分布且与 先前发生的次数,则事件在一个事件中发生的次数 给定的时间单位具有泊松分布。我们邀请读者来看看 lecture on the Poisson distribution 对于 a more 详细说明和直观的图形表示形式。

定义

指数分布的特征如下。

定义 Let X be a continuous random variable 。 让它 support be the set of positive real numbers:[eq2][eq3]. We say that X has an 指数分布 with parameter  $ lambda $ if and only if its 可能性 density function is[eq4] 的 parameter  $ lambda $ is called 速率参数.

具有指数分布的随机变量也称为 指数随机变量。

以下是证明 [eq5] is a 合法概率密度函数.

证明

非负性很明显。我们需要证明 that the integral of [eq6] over R equals 1. This is proved as follows:[eq7]

为了更好地了解指数分布,可以看一下它的 density plots.

速率参数及其解释

我们已经提到事件在两个日期之间发生的概率  $ t $ and  $ t +增量t $ is proportional to  $ Delta t $ (以之前未发生的信息为条件  $ t $ )。 The rate parameter  $ lambda $ is the constant of proportionality:[eq8] 哪里 [eq9] 是一个比...高的无穷小数  $ Delta t $ (i.e. a function of  $ Delta t $ 比零快到零  $ Delta t $ does).

上述比例条件也足以完全 表征指数分布。

主张 The proportionality condition[eq10] 是 satisfied only if X 具有指数分布。

证明

条件概率 [eq11] can be written as[eq12] 表示 by [eq13] the 分配功能 of X, that is,[eq14] 和 by [eq15] its survival function:[eq16] 然后, [eq17] 划分 both sides by  $-增量t $ , we obtain[eq18] 哪里 $ oleft(1
权)$ 是一个趋向于 0 when  $ Delta t $ tends to 0. 限制双方,我们 obtain[eq19] 要么, by the definition of derivative:[eq20] 这个 使用链可轻松解决微分方程 rule:[eq21] 服用 the integral from 0 to x of both sides, we get[eq22][eq23] 要么 [eq24][eq25] (because X 不能取负值) implies[eq26]求幂 both sides, we obtain[eq27] 因此, [eq28] 要么 [eq29] 但 密度函数是分布的一阶导数 function:[eq30] 和 最右边的项是指数随机变量的密度。 因此,仅在以下情况下满足比例条件 X 是指数随机变量

期望值

The expected value 指数随机 variable X is[eq31]

证明

它 can be derived as follows:[eq32]

方差

The variance 指数随机变量 X is[eq33]

证明

它 可以归功于平常 方差 formula ([eq34] ): [eq35]

瞬间产生功能

The 力矩产生功能 的 an 指数随机变量 X is defined for any $t<lambda $:[eq36]

证明

的 力矩产生函数的定义 gives[eq37] 的 当然,上述积分仅在以下情况下收敛 [eq38], i.e. only if $t<lambda $. 因此,指数随机变量的矩生成函数 exists for all $t<lambda $.

特征功能

The 特征函数 的 exponential random variable X is[eq39]

证明

通过 使用特征函数的定义和事实 [eq40] 我们 can write[eq41] 我们 现在分别计算两个积分。第一积分 is[eq42] 因此, [eq43] 哪一个 can be rearranged to yield[eq44] 要么 [eq45] 的 second integral is[eq46] 因此, [eq47] 哪一个 can be rearranged to yield[eq48] 要么 [eq49] 通过 放在一起,我们 get[eq50]

分配功能

指数随机变量的分布函数 X is[eq51]

证明

如果 $x<0$, then[eq52] 因为 X 不能取负值。如果  $ xgeq 0 $ , then[eq53]

更多细节

在以下小节中,您可以找到有关指数的更多详细信息 distribution.

无记忆的财产

指数分布的最重要属性之一是 无记忆属性: [eq54] 对于 any  $ xgeq 0 $ .

证明

这证明为 follows:[eq55]

X 是我们在某个事件发生之前需要等待的时间。以上属性 说事件发生的时间间隔为 length  $ y $ 与已经过去了多少时间无关 (x) 没有事件发生。

指数随机和 变量是伽玛随机变量

Suppose X_1, X_2, ...,  X_n are n 相互独立的随机变量 having 带参数的指数分布  $ lambda $ .

Define[eq56]

Then, the sum Z is a 伽玛随机变量 with parameters $2n$ and $ frac {n} {lambda} $.

证明

这可以通过力矩产生来证明 函数(记住,矩的产生函数是相互和的 独立随机变量只是它们产生力矩的产物 functions):[eq57] 的 后者是具有 parameters $2n$ and $ frac {n} {lambda} $. So Z 具有Gamma分布,因为两个随机变量具有相同的 具有相同的力矩产生函数时的分布。

The random variable Z 有时也说有一个 Erlang分布 。 的 Erlang分布只是Gamma分布的一种特殊情况:Gamma 当可以将随机变量写为 指数随机变量的总和。

密度图

下图显示了指数分布的密度如何随 更改速率参数:

垂直的细线表示两种分布的均值。注意 通过增加速率参数,我们可以降低 distribution from 1 to $1/2$.

指数密度图1

解决的练习

您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。

练习1

Let X 是具有参数的指数随机变量 [eq58]. 计算以下 probability:[eq59]

首先我们可以写出概率 as[eq60] 使用 连续随机变量具有任何概率的事实 特定值等于零(请参阅 Continuous 随机变量和零概率事件)。现在,概率可以是 用...的分布函数写 X as[eq61]

练习2

假设随机变量 X 具有参数的指数分布  $ lambda = 1 $ . 计算以下 probability:[eq62]

这个概率很容易计算 通过使用分布函数 X:[eq63]

练习3

随机变量的概率是多少 X 小于其期望值,如果 X 具有参数的指数分布  $ lambda $ ?

指数的期望值 带参数的随机变量  $ lambda $ is[eq64] 的 上面的概率可以通过使用 X:[eq65]

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "指数分布", Lectures on probability theory and mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.enerxy-china.com/probability-distributions/exponential-distribution.

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