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贝塔快三一定牛

通过 博士

Beta快三一定牛是具有两个的连续概率快三一定牛 参数。它最常见的用途之一是对某人的不确定性进行建模 实验成功的可能性。

假设概率实验只能有两个结果,要么成功,要么 with probability X, 或失败的可能性 $1-X$. Suppose also that X 未知,并且所有可能的值均被视为可能性相同。这个 不确定性可以通过指定为 X a uniform distribution on the interval $ left [0,1
权] $. 这是适当的,因为 X, being a probability,只能取介于 0 and 1; 此外,均匀快三一定牛将相等的概率密度分配给所有 间隔中的点,这反映了以下事实: X 先验地被认为比其他所有可能性更大。

现在,假设我们执行 n 实验的独立重复,我们观察到 k successes and $ n-k $ 失败。完成实验后,我们自然想知道我们如何 应该修改最初分配给的分配 X, 为了适当考虑由 观察到的结果。换句话说,我们要计算 条件快三一定牛 of X, 以我们观察到的成功和失败的数量为条件。的 此计算的结果是Beta快三一定牛。特别是 的条件快三一定牛 X, 以观察为条件 k successes out of n 试用,是带有参数的Beta快三一定牛 $k+1$ and $ n-k + 1 $.

目录

定义

Beta快三一定牛的特征如下。

定义 Let X be a continuous random variable。让它 support be the unit interval:[eq1][eq2]. We say that X has a 贝塔快三一定牛 带有形状参数 $ lpha $ and $ eta $ if and only if its 可能性 density function is[eq3]哪里 $ Bleft({}
权)$ is the 贝塔 function.

具有Beta快三一定牛的随机变量也称为Beta随机 variable.

以下是证明 [eq4] is a 合法概率密度函数.

证明

非负性源于以下事实: [eq5] is non-negative when [eq6] and [eq7], and that [eq8] 严格为正(这是伽玛函数的比率, 当他们的论点严格为肯定时为积极-参见演讲 Gamma function)。那是不可或缺的 [eq9] over R equals 1 is proved as follows:[eq10]哪里 我们使用积分表示 [eq11]a 可以在标题为“讲座”的讲座中找到证明 Beta function.

期望值

The expected value Beta随机变量 X is[eq12]

证明

它 can be derived as follows:[eq13]

方差

The variance Beta随机变量 X is[eq14]

证明

它 可以归功于平常 方差 formula ([eq15]):[eq16]

更高的时刻

The k-th moment Beta随机变量 X is[eq17]

证明

通过 时刻的定义,我们 have[eq18]

where in step $ rame {A} $ 我们递归地使用了以下事实: [eq19].

瞬间产生功能

The 力矩产生功能 的 a Beta random variable X is defined for any $ t $ and it is[eq20]

证明

通过 使用力矩生成函数的定义,我们 obtain[eq21]注意 矩生成函数存在并且为任何 $ t $ because the integral[eq22]是 保证存在并且是有限的,因为 integrand[eq23]是 continuous in x 在边界区间内 $ left [0,1
权] $.

上面有关矩生成函数的公式对于 计算,因为它涉及一个无限的总和以及乘积 的期限无限期地增加。然而 function[eq24]是 a function, called Confluent 第一种超几何函数,这已经被广泛 在许多数学分支学习。其属性是众所周知的 大多数软件都提供用于其计算的高效算法 用于科学计算的软件包。

特征功能

The 特征函数 Beta的 random variable X is[eq25]

证明

的 特征函数的推导几乎与 力矩生成函数的推导(只需替换 $ t $ with $ it $ in that proof).

关于力矩生成函数的注释,包括关于 合流超几何函数的计算,也适用于 特征函数,除以下事实外与mgf相同: that $ t $ is replaced with $ it $.

分配功能

Beta随机变量的快三一定牛函数 X is[eq26]哪里 the function[eq27]是 called Beta功能不完整 并且通常通过专门的计算机算法进行计算。

证明

对于 $x<0$, [eq28], because X 不能小于 0. For $x>1$, [eq29] because X 始终小于或等于 1. For [eq30],[eq31]

更多细节

在以下小节中,您可以找到有关Beta的更多详细信息 distribution.

与均匀快三一定牛的关系

以下命题陈述了Beta与制服之间的关系 distributions.

主张 带参数的Beta快三一定牛 $ lpha = 1 $ and $ eta = 1 $ 是间隔上的均匀快三一定牛 $ left [0,1
权] $.

证明

什么时候 $ lpha = 1 $ and $ eta = 1 $, we have that [eq32]因此, 带参数的Beta快三一定牛的概率密度函数 $ lpha = 1 $ and $ eta = 1 $ can be written as [eq33]但 后者是一个均匀快三一定牛的概率密度函数 the interval $ left [0,1
权] $.

与二项式快三一定牛的关系

以下命题陈述了Beta与 二项式快三一定牛。

主张 Suppose X 是具有参数的Beta快三一定牛的随机变量 $ lpha $ and $ eta $. Let Y 是另一个随机变量,使得其快三一定牛取决于 X is a 二项快三一定牛 与 parameters n and X. 然后,条件快三一定牛 X given Y = y 是带有参数的Beta快三一定牛 $ lpha + y $ and $ eta + n-y $.

证明

我们正在处理一个连续的随机 variable X 和一个离散随机变量 Y (它们共同形成具有混合坐标的随机向量)。 略微使用符号,我们将继续 Y 是连续的,将其概率质量函数视为 概率密度函数。放心,这可以充分做到 严格的(通过相对于 counting measure on the support of Y)。 By assumption Y 有一个二项快三一定牛的条件是 X, so that its conditional 概率质量函数 is [eq34]哪里 $ inom {n} {y} $ is a binomial coefficient. Also, by assumption X 具有贝塔快三一定牛,因此是概率密度函数 is[eq35]因此, the joint 概率密度函数 of X and Y is [eq36]从而, 我们已经考虑了联合概率密度函数 as[eq37]哪里[eq38]是 带参数的Beta快三一定牛的概率密度函数 $ lpha + y $ and $ eta + n-y $, and the function [eq39] does not depend on x. 通过题为“ 联合概率密度分解 functions,这意味着 X given Y = y is[eq40]从而, 正如我们想证明的那样, X given Y = y 是带有参数的Beta快三一定牛 $ lpha + y $ and $ eta + n-y $.

通过将该命题与上一个命题相结合,我们得出以下结论 corollary.

主张 Suppose X 是具有均匀快三一定牛的随机变量。让 Y 是另一个随机变量,使得其快三一定牛取决于 X 是具有参数的二项式快三一定牛 n and X. 然后,条件快三一定牛 X given Y = y 是带有参数的Beta快三一定牛 $1+y$ and $ 1 + n-y $.

这个主张构成了我们在 介绍本讲座,以激励Beta发行版。 请记住,在 n 具有成功概率的随机实验的独立重复 X 是具有参数的二项式随机变量 X and n. 根据上面的命题,当成功的概率 X 是先验未知数,并且所有可能的值 X 被认为具有相同的可能性(它们具有均匀的快三一定牛), outcome of the n 实验导致我们修改分配给 X, 这次修订的结果是Beta版本。

解决的练习

您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。

练习1

生产工厂生产具有一定可能性的物品 X 有缺陷。工厂经理不知道 X, 但根据以往的经验,她希望这个可能性等于 $4%$. 此外,她量化了自己关于 X by attaching a standard deviation of $2%$ to her $4%$ 估计。与统计专家协商后,经理决定 使用Beta快三一定牛来建模她的不确定性 X. 她应该如何设置快三一定牛的两个参数才能匹配 她关于期望值和标准差的先验 X?

我们知道Beta的期望值 带参数的随机变量 $ lpha $ and $ eta $ is[eq41]而 its variance is[eq42]的 需要以这种方式设置两个参数 that[eq43]这个 通过找到以下两个方程组的解来完成 in two unknowns:[eq44]哪里 为了符号上的方便,我们设置了 $亩= 0.04 $ and $ sigma ^ {2} = 0.0004 $. The first equation gives[eq45]要么[eq46]通过 将其代入第二个方程,我们 get[eq47]要么[eq48]然后 我们将左侧的分子和分母除以 $ lpha ^ {2} $:[eq49]通过 计算产品,我们 get[eq50]通过 以双方的对立,我们 have[eq51]通过 双方乘以 $ mu ^ {3} $, we obtain[eq52]从而 the value of $ lpha $ is[eq53]和 the value of $ eta $ is[eq54]通过 将数值插入两个公式,我们 obtain[eq55]

练习2

选择Beta快三一定牛的参数以代表她之后 有关产生有缺陷的物品的可能性的先验知识(请参阅上一篇) 练习),工厂经理现在想通过观察新的来更新其先验 数据。她决定检查100件产品的生产批次,结果发现 该批次中的3个项目有缺陷。她应该如何更改参数 Beta发行版的版本,以便将此新信息考虑在内?

在项目是 彼此独立生产,检查结果是 带参数的二项式随机变量 $ n = 100 $ and $ p = X $. 但是根据二项式随机结果更新Beta快三一定牛 结果,变量提供了另一个Beta快三一定牛。而且,两个 parameters $ lpha _ {1} $ and $ eta _ {1} $ Beta版发行版的数量 are[eq56]

练习3

更新Beta快三一定牛的参数后(请参见 练习),工厂经理希望再次计算期望值, 发现有缺陷物品的概率的标准差。你能 help her?

我们只需要使用公式 期望值和Beta的方差 distribution:[eq57]和 插入我们发现的新值 $ lpha $ and $ eta $, that is,[eq58]的 result is[eq59]

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "贝塔快三一定牛", Lectures on probability theory and mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.enerxy-china.com/probability-distributions/beta-distribution.

这本书

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