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指数 > 矩阵 algebra

vectors和矩阵

经过 ,博士学位

该讲义提供了对矩阵和载体的非正式介绍。

目录

矩阵

矩阵是具有固定数量的行和的二维阵列 列并包含每个行和列交叉点的数字。一种 矩阵通常由方括号限定。

例子 以下是具有两行和两个的矩阵的示例 columns:[eq1]

矩阵的维度

矩阵的行数和列的数量构成其维度。如果一个 matrix has K rows and  $ l $ 列,我们说这是一个  $ kimes l $ 矩阵,或者它具有维度  $ kimes l $ .

例子 Define a matrix[eq2] 这 matrix A has $2$ rows and $3$ 列。所以,我们这么说 A is a  $ 2倍3美元 matrix.

矩阵的元素

矩阵中包含的数字称为矩阵的元素(或 条目或组件)。如果 A 是矩阵,行的交叉点处的元素 k and column  $ l $ 通常表示  $ a_ {k,l} $ (or  $ a_ {kl} $ ) 我们说这是 $ left(k,l
Ight)$ - element of A.

例子 Let A be a $ 3 $ 2 $ matrix defined as follows:[eq3] 这 element of A 在第三行和第一列的交叉点处,即,它 $左(3,1
Ight)$ - element is[eq4]

vectors.

如果矩阵只有一行或只有一列,则它被称为向量。

仅具有一行的矩阵被称为a 行矢量 .

例子 The  $ 1次3美元 matrix[eq5] 是 一排矢量,因为它只有一行。

只有一列的矩阵被称为a 柱矢量.

例子 The $ 2倍1美元 matrix[eq6] 是 列向量,因为它只有一列。

标量

只有一行和一列的矩阵称为标量。

例子 The  $ 1 $ 1 $ matrix[eq7] 是 标量。换句话说,标量是单个数字。

等于矩阵

矩阵之间的平等以显而易见的方式定义。二  $ kimes l $ matrices A and  $ b $ 如果才能且仅当所有的尺寸相等 相应的元素等于每个元素 other:[eq8]

零矩阵

A matrix A is a 零矩阵 如果所有元素等于零,并且 we write [eq9]

例子 If A is a  $ 2倍3美元 matrix and $A=0$, then[eq10]

方矩阵

A  $ kimes l $ matrix is called a 方矩阵 如果其行数是 与其列的数量相同,即  $ k = l $ .

例子 The  $ 2 $ 2 $ matrix[eq11] 是 a square matrix.

例子 The 3美元3美元 matrix[eq12] 是 a square matrix.

对角线和偏斜元件

Let A 是一个方形矩阵。这 对角线 (或者 main diagonal of A) 是所有元素的集合  $ a_ {k,l} $ such that  $ k = l $ . 属于对角线的元素称为对角线元素,所有元素 其他元素被称为非对角线。

例子 Let A be the 3美元3美元 matrix defined by[eq13] 全部 偏斜元素 A are equal to $3$, 虽然三个对角线元素等于 $5$, $2,$, and 1, respectively.

身份矩阵

方形矩阵被称为 身份矩阵 if all its 对角线元素等于 1 所有偏差元素都等于 0. 它通常由这封信表示 I.

例子 The 3美元3美元 matrix[eq14] 是 the 3美元3美元 identity matrix.

矩阵

If A is a  $ kimes l $ matrix, its 翻倒 ,表示 $ a ^ {op} $, is the $ limes k $ matrix such that the $ left(l,k
Ight)$ - element of  $ a ^ {op} $ is equal to the $ left(k,l
Ight)$ - element of A for any k and  $ l $ satisfying $ 1Leq kleq k $ and $ 1Leq Lleq L $. 换句话说,列的列  $ a ^ {op} $ 等于行 A (同等地,行的行  $ a ^ {op} $ 等于列 A )。

例子 Let A be the  $ 2倍3美元 matrix defined by [eq15] 它的 transpose  $ a ^ {op} $ is the following $ 3 $ 2 $ matrix:[eq16]

例子 Let A be the  $ 2 $ 2 $ matrix defined by [eq17] 它的 transpose  $ a ^ {op} $ is the following  $ 2 $ 2 $ matrix:[eq18]

对称矩阵

据说方形矩阵是 对称 如果它等于它 transpose.

例子 Let A be the  $ 2 $ 2 $ matrix defined by [eq19] 它的 transpose  $ a ^ {op} $ is the following  $ 2 $ 2 $ matrix:[eq20] 哪个 is equal to A. Therefore, A is symmetric.

解决练习

下面可以找到一些练习解释的解决方案。

练习1

Let A be a 3美元3美元 matrix defined by[eq21] 找 its transpose.

解决方案

翻倒  $ a ^ {op} $ 是一个矩阵,使得其列等于行 A:[eq22]

练习2

Let A be a $ 3 $ 1 $ 确定列向量 by[eq23] 展示 它的转置是一排矢量。

解决方案

翻倒  $ a ^ {op} $ 是一个矩阵,使得其行等于列 A. But A 只有一列,这意味着  $ a ^ {op} $ 只有一行。因此,它是一排 vector:[eq24]

练习3.

Let A be a 3美元3美元 matrix defined by[eq25] 是 it symmetric?

解决方案

A 如果它是等于其瞬间的对称。转置 A is[eq26] 哪个 is not equal to A. Therefore, A is not symmetric.

如何引用

请引用:

Taboga, Marco (2017). "vectors和矩阵", Lectures on matrix algebra. //www.enerxy-china.com/matrix-algebra/vectors-and-matrices.

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