搜索Statlect上的概率和统计信息
统计章程
指数 > Matrix algebra

单一矩阵

经过 ,博士学位

单一矩阵是一个复杂的 square matrix whose 列(和行)是正常的。它具有重要的财产 逆等于其共轭转发。

据说唯一的矩阵,其条目全数字据说是正交的。

目录

初论概念

为了了解酉矩阵的定义,我们需要记住 以下事情。

我们说两个向量 $ r $ and $ s $ 如果只有在他们的情况下是正交的 inner product 是 equal to zero:[eq1]

我们可以使用内部产品来定义 norm (length) of a vector $ s $ as follows:[eq2]

我们说一组矢量 [eq3] is orthonormal 如果 and only if[eq4]那 如果且仅当集合的元素具有单位标准并且正交 to each other.

When the vectors are arrays of complex numbers and, in particular, Kx1 具有复杂条目的列向量,通常的方式定义内部 product is[eq5]在哪里 $ s $ and $ r $ are Kx1 vectors and $ s ^ {st} $ denotes the conjugate transpose of $ s $.

当向量是实数量的阵列时,内部产品是通常的 dot product 之间 two vectors:[eq6]在哪里 $ s ^ {op} $ 表示转置 $ s $.

定义

我们现在准备好了解酉矩阵。

定义 A $ kimes k $ complex matrix A is said to be 如果并且只有它是可逆性的 inverse 等于 its 缀合物转置,即 is,[eq7]

Remember that $ a ^ { -  1} $ is the inverse of a $ kimes k $ matrix A if and only if it satisfies[eq8]在哪里 I is the $ kimes k $ identity matrix。作为一个 结果,以下两个命题持有。

主张 A IF且仅限酉矩阵 if[eq9]

主张 A IF且仅限酉矩阵 if[eq10]

让我们制作一个简单的例子。

例子 Define the $ 2 $ 2 $ complex matrix[eq11]这 缀合的翻转 A is[eq12] 矩阵 product between $ a ^ {st} $ and A is[eq13]然后, A is unitary.

柱的正交性

酉矩阵具有它们的列正常的属性。

主张 A matrix A 酉,如果只有其列形成正式集。

证明

请注意 $left( j,k
ight) $ - 输入身份矩阵是 [eq14]而且, 通过矩阵产品的定义, $left( j,k
ight) $ - entry of the product $ a ^ {st} a $ 是产品之间的产品 $ j $ - row of $ a ^ {st} $ (denoted by [eq15]) and the $ k $ - column of A (denoted by $ a_ {ullet k} $): [eq16]在 转身,通过共轭转置的定义, $ j $ - row of $ a ^ {st} $ 等于缀合物转置 $ j $ - column of $ a $. Therefore, we have that[eq17]拥有 建立了这些事实,让我们证明了“如果”部分主张。 假设的列 A 形成一个正式的集合。然后, [eq18]哪个 implies[eq19]为了 any $ j $ and k. As a consequence, [eq20]哪个 means that A 是统一的。让我们现在证明“只有”部分。假设 A is unitary. Then,[eq21]哪个 implies[eq22]作为 后果,列 A are orthonormal.

例子 Consider again the matrix[eq23]和 表示它的两列 [eq24]这 两列具有单位规范 because[eq25][eq26]他们 are orthogonal because[eq27]

单一翻转

遵循一个非常简单的财产。

主张 A matrix A 酉,如果只有在转置 $ a ^ {op} $ is unitary.

证明

我们已经知道了 A is unitary if and only[eq28]我们 可以过滤等式的两侧并获得等同物 condition[eq29]在哪里 我们已经使用了这个事实 缀合的顺序和 换位无关紧要。后一种条件是满意的 only if $ a ^ {op} $ 是统一的,证明了这个命题。

行的正交

不仅列,而且酉矩阵的行是正常的。

主张 A matrix A 酉,如果它的行形成正交集合。

证明

行的行 A are the columns of $ a ^ {op} $, 哪个是单一的1)如果且仅当它具有正交列时才; 2)如果只有 if A is unitary.

共轭翻转

另一种可以以几条线条证明的命题。

主张 A matrix A 酉,如果只有其共轭转发 $ a ^ {st} $ is unitary.

证明

我们已经知道了 A 是统一的,如果只有 [eq29]经过 考虑到等式两侧的复杂共轭,我们 obtain[eq31]或者[eq32]哪个 相当于这么说 $ a ^ {st} $ is unitary.

单一矩阵的产品

单一矩阵的产物是单一的基质。

主张 Let A and $ b $ be two unitary $ kimes k $ 矩阵。然后,产品 $ ab $ is unitary.

证明

共轭转换 $ ab $ is[eq33]所以,[eq34]哪个 implies that $ ab $ is unitary.

酉和三角形矩阵

以下事实有时用于矩阵代数。

主张 Let A be a $ kimes k $ unitary matrix. If A 是三角形(较低或大上),其对角线条目是正的, then[eq35]在哪里 I is the $ kimes k $ identity matrix.

证明

让我们从中开始 A 是上三角形(UT)。自从 A 是UT,只有第一个列的第一个输入可能不同于 zero:[eq36]自从 A 酉,其中一个列的标准必须等于1.自 假设对角线条目 A 必须是积极的,所列规范仅限统一 if[eq37]那 is, if $ a_ {ullet 1} $ 是第一个矢量 canonical basis。自从 A 是UT,只有其第二列的前两个条目可能不同于 zero:[eq38]这 前两列之间的内部产品 A is[eq39]自从 the columns of A 彼此正交,后者内部产品必须等于零, which implies that [eq40]所以,[eq41]自从 the norm of $ a_ {ullet 2} $ 必须等于1,这一定是 $ a_ {22} = 1 $. Thus, $ a_ {ullet 2} $ 是规范基础的第二个矢量。对于每个其他列 A, 我们类似地进行:我们强加了列的一些条目等于 zero because A 三角形;我们证明了其他条目必须等于零,以便 满足正交性条件;我们证明了唯一的非零条目 必须等于1,以满足正常性要求。这 当我们证明这一点时,过程结束 $ a_ {ullet k} $ is equal to the k - 规范基础的栏,为 $ k = 1,ldots,k $. Thus, A is equal to the $ kimes k $ identity matrix. If A 是较低的三角形和单一的,然后 $ a ^ {op} $ 是上三角和酉。结果,我们有那个 $ a ^ {op} = i $, which implies that $ a = i $.

带正常柱的非平方矩阵

单一矩阵最重要的属性也适用于矩阵 不是正方形,但具有正常的列。

主张 Let A be a $ kimes l $ matrix such that its $ l $ 列形成正交集。然后, [eq42]在哪里 I is the $ limes l $ identity matrix.

证明

表示 $ a_ {ullet l} $ the $ l $ - column of A. 通过矩阵产品的定义, matrix[eq43]是 an $ limes l $ matrix whose $left( l,m
ight) $ - entry is[eq44]因为 the columns of A 是正常的。其他 words,[eq45]在哪里 I is the $ limes l $ identity matrix.

正交矩阵

如果酉矩阵的所有条目都是真实的(即,它们的复杂部件是 均为零),然后矩阵被称为正交。

If A 是一个真实的矩阵,它仍然不受复合缀合的影响。作为一个 consequence, we have that[eq46]

因此,如果只有真实的矩阵是正交的 if[eq47]

由于正交矩阵是统一的,因此酉矩阵的所有属性 适用于正交矩阵。

解决练习

下面可以找到一些练习解释的解决方案。

练习1

Define the matrix[eq48]

Find a scalar $ lpha $ such that $ lpha a $ is unitary.

解决方案

我们需要找到 $ lpha $ such that[eq49]让 美国首先计算缀合物转置 A:[eq50]然后, 我们可以使用它的产品来计算 A:[eq51]因此, if we choose $ lpha = 1/2 $, we obtain[eq52]

如何引用

请引用:

Taboga, Marco (2017). "单一矩阵", Lectures on matrix algebra. //www.enerxy-china.com/matrix-algebra/unitary-matrix.

这本书

本网站上发现的大多数学习材料现在都以传统的教科书格式提供。