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指数 > Matrix algebra

三角矩阵

经过 ,博士学位

A square matrix is said to be:

三角矩阵经常在线性代数和理论中弹出 linear systems。因此,有价值地研究他们的属性, which we do below.

目录

定义

正式定义遵循。

定义 A  $ kimes k $ matrix  $ l $ 如果才是较低的三角,只有  $ l_ {ij} = 0 $ whenever $j>i$.

请记住,主要对角线  $ kimes k $ square matrix  $ l $ 是所有条目的集,使其行和列指数一致, that is, the set[eq1]

因此,在较低的三角形矩阵中,主要是主题上方的元素 对角线(即,那些列索引的那些  $ j $ 大于行索引  $ i $ ) are zero.

定义 A  $ kimes k $ matrix  $ U $ 是大三角形,如果只有  $ u_ {ij} = 0 $ whenever $j<i$.

因此,在上三角矩阵中,主对角线下方的所有元件 (即,列索引的那些  $ j $ 小于行索引 i) are zero.

例子

三角形矩阵的一些例子遵循。

例子 Consider the  3美元3美元 matrix[eq2] 这 主要对角线上的条目是 [eq3] 这 主角线上方的条目都是 zero:[eq4] 所以, 矩阵是较低的三角形。

例子 Define the  $ 4 $ 4 $ matrix[eq5] 这 主要对角线上的条目是 [eq6] 这 主要对角线以下的条目都是 zero:[eq7] 所以, 矩阵是上三角形。

以下部分报告了三角形满足的许多属性 matrices.

三角矩阵的转置是三角形的

主张 较低三角形矩阵的转置是上三角形。

证明

假设  $ l $ 是较低的三角形,所以  $ l_ {ij} = 0 $ whenever $j>i$. 根据定义,转置的条目  $ l ^ {op} $ satisfy[eq8] 所以, [eq9] whenever $j>i$. Hence,  $ l ^ {op} $ is upper triangular.

主张 上三角矩阵的转置是较低的三角形。

证明

类似于前一个。

两个三角形矩阵的乘积是三角形的

主张 两个下三角形基质的产物是较低的三角形。

证明

假设 A and  $ b $ are two  $ kimes k $ 下三角矩阵。我们需要证明 that[eq10] 每当 $j>i$. But, when $j>i$, we have that[eq11] 在哪里: in step  $ rame {a} $ 我们已经使用了这个事实  $ b_ {kj} = 0 $ because  $ kleq i. <j$; in step  $ rame {b} $ 我们已经使用了这个事实  $ a_ {ik} = 0 $ because $i<k$.

主张 两个上三角矩阵的产物是上三角形。

证明

证据类似于前一个。

如果它的对角线,则三角矩阵是可逆的 entries are non-zero

主张 三角矩阵(上部或下部)是 invertible if and only if all 其主要对角线上的条目是非零。

证明

让我们首先证明“只有”部分。 Suppose a  $ kimes k $ 下三角矩阵  $ l $ 在行上的主角线上有一个零条目 k, that is,[eq12] 考虑 the  $ kimes k $ sub-matrix  $ b $ formed by the first k rows of  $ l $ . The k - column of  $ b $ is zero because  $ l_ {kk} = 0 $ , 并且其右侧的所有列都是零,因为  $ l $ 是较低的三角形。然后,  $ b $ has at most $k-1$ 非零列。作为它最多 $k-1$ linearly independent columns. Thus, its column rank is at most $k-1$. 由于行排名和列等级一致,这意味着  $ b $ has at most $k-1$ 线性独立的行。作为这一点 k rows of  $ b $ 不是线性独立的。但是的行  $ b $ are also rows of  $ l $ . 因此,行的行  $ l $ 不是线性独立的,  $ l $ 不是全级别,它不可逆转。总而言之,我们证明了,如果 主要对角线上有一个零条目  $ l $ , then  $ l $ 是不可逆性的。作为一个  $ l $ 只有主对角线上没有零条目,才能可逆。我们现在 需要证明“如果是部分”(如果主要内部没有零条目 diagonal, then  $ l $ 是可逆的)。我们将通过矛盾证明它。如果  $ l $ 是不可逆性的,那么它的行不是线性独立的,其中一个 (suppose it is the k - 行)可以写成一个 linear combination 的 other rows:[eq13] 如果 还有其他行 $ l_ {k ullet} $, with indices $ k + 1,ldots,k $, 然后它们的线性组合中的系数必须为零。特别是, $ lpha _ {k} $ 必须是零,因为 K - 行是唯一一个具有非零条目的人 K - column and $ l_ {k ullet} $ 有一个零点 K - column. Therefore,[eq14] 经过 the same token, $ lpha _ {k-1} $ 必须是零,因为 $ left(k-1
Ight)$ - 行是具有非零条目的线性组合中唯一的一个 $ left(k-1
Ight)$ - column and $ l_ {k ullet} $ 有一个零点 $ left(k-1
Ight)$ - column. Thus,[eq15] 我们 重复这个推理,直到我们推断出来 [eq16] 作为 a consequence,[eq17] 但 这是不可能的,因为 $ l_ {k ullet} $ 有一个非零条目  $ k $ - column and [eq18] 所有列中都有零条目。因此,我们通过矛盾证明了 如果所有的对角线条目  $ l $ 是非零,那么没有行  $ l $ 可以写成其他人的线性组合。因此, 行是线性独立的  $ l $ 是可逆的。我们现在已经证明了下三角的命题 矩阵。上三角矩阵的证据相似(更换列 with rows).

三角形矩阵的倒数是三角形的

主张 如果是较低的(上)三角形  $ kimes k $ matrix  $ l $ 是可逆的,然后其逆较低(上)三角形。此外,每个 进入主要对角线  $ l ^ { -  1} $ 等于主要对角线上相应条目的倒数  $ l $ , that is,[eq19] 为了 $ k = 1,ldots,k $.

证明

 $ l $ be a  $ kimes k $ 下三角矩阵。表示 [eq20] the K columns of  $ l ^ { -  1} $ . 根据定义,逆 satisfies[eq21] 在哪里 I is the  $ kimes k $ 身份矩阵。列的列 I are the K vectors [eq22] of the standard basis 。 这 k - 标准基础的矢量  $ e_ {k} $ 所有条目都等于零,除了 k - which is equal to 1. 通过讲座提出的结果 matrix 产品和线性组合 , 这 K columns of  $ l ^ { -  1} $ satisfy[eq23] 为了 $ k = 1,ldots,k $. 这是可以写入的等式系统 as[eq24] 笔记 右侧的常数在所有方程中都为零,但是 k -th。 Since  $ l $ 是可逆的,它对角线元素 ([eq25]) are non-zero. Since $L_{11}
eq 0$, 第一个等式有解决方案  $ y_ {1k} = 0 $ . 通过将该解决方案插入第二个等式,我们得到  $ y_ {2k} = 0 $ (because $L_{22}
eq 0$ )。 然后,我们解决了第三等式,等等,直到我们到达 k - 等式,在第一次找到非零解决方案 $ y_ {kk} = 1 / l_ {kk} $. 因此,列向量的条目 $ y_ {ullet k} $ above the k - 行全部为零。但 $ y_ {ullet k} $ is the k - column of  $ l ^ { -  1} $ 该声明对所有人保持了真实 k. 作为所有参赛作品  $ l ^ { -  1} $ 其行索引小于列索引为零。换一种说法,  $ l ^ { -  1} $ 是较低的三角形。上三角矩阵的证据是类似的。

三角矩阵和梯形形式

本节探讨三角矩阵和矩阵之间的连接 in echelon form.

主张 如果上三角矩阵是可逆的,那么它就在 row echelon form.

证明

请记住,据说矩阵是行 梯队形式,如果只有1)其所有非零行都有枢轴(即,a 非零条目,使其左下方和下方的所有条目等于 零)和2)其所有零行位于非零行下方。认为  $ U $ 是可逆的上三角矩阵。然后,  $ U $ 没有零行,因为它的所有对角线条目都是非零的。此外, each row of  $ U $ 包含对角线条目,这是一个枢轴,因为它是非零并且它具有 只有下面的零点也是左边。所以,  $ U $ 是行梯队形式。

主张 如果较低三角形矩阵是可逆的,那么它就在 column echelon form.

证明

这是一个直接的后果 以前的命题。我们只需要使用以下事实:1)转置 上三角矩阵是较低的三角形; 2)矩阵的转置 在行梯度形式中是拱形形式。

主张 如果方形矩阵处于行梯度形式,则它是上三角形。

证明

 $ U $ 是行梯队形式的方形矩阵。扫描行的行  $ U $ 从上到下寻找枢轴。你会在每一行找到一个枢轴 直到你到达零行。你发现的每个枢轴都在下面和右边 前一个。因此,枢轴始终在主要的右侧 对角线。枢轴左侧的条目必须为零。因此,A FortiOri,主对角线左侧的条目为零。因此,  $ U $ is upper triangular.

主张 如果方形矩阵处于列梯形状态,则它是较低的三角形。

证明

这是一个直接的后果 以前的命题。我们只需要使用转置的事实 行中的矩阵梯形形式是列的梯形形式和转置 上三角矩阵是较低的三角形。

如何引用

请引用:

Taboga, Marco (2017). "三角矩阵", Lectures on matrix algebra. //www.enerxy-china.com/matrix-algebra/triangular-matrix.

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