搜索Statlect上的概率和统计信息
统计章程
指数 > Matrix algebra

矩阵

经过 ,博士学位

一个正方形的痕迹 matrix 是 the sum of its diagonal elements.

该迹线享有几种经常在证明时非常有用的属性 导致矩阵代数及其应用。

目录

定义

让我们从一个正式的定义开始。

定义 Let A be a $ kimes k $ 矩阵。然后,它的痕迹,表示 [eq1] or [eq2], 是它对角线的总和 elements:[eq3]

例子

有些例子遵循。

例子 Define the matrix[eq4]然后, its trace is[eq5]

例子 Define the matrix[eq6]然后, its trace is[eq7]

特性

以下小节报告跟踪运营商的一些有用属性。

痕迹

两个矩阵之和的迹线等于其跟踪的总和。

主张 Let A and $ b $ be two $ kimes k $ matrices. Then, [eq8]

证明

请记住,两个矩阵的总和是 通过将一个矩阵的每个元素求和对应元素来执行 其他矩阵(参见讲座 Matrix addition)。作为一个 consequence,[eq9]

标量的迹象

下一个命题告诉我们矩阵时迹线的迹象发生了什么 乘以标量。

主张 Let A be a $ kimes k $ matrix and $ lpha $ a scalar. Then,[eq10]

证明

请记住,矩阵的乘法 通过将矩阵的每个条目乘以给定的标量来执行标量 标量(参见讲座 Multiplication 标量的矩阵)。作为一个 consequence,[eq11]

线性组合的痕迹

上面的两个属性(总和和标量乘法的痕迹)暗示了 trace of a linear combination 等于迹线的线性组合。

主张 Let A and $ b $ be two $ kimes k $ matrices and $ lpha $ and $ eta $ two scalars. Then, [eq12]

矩阵的转置迹线

转换矩阵不会改变其迹线。

主张 Let A be a $ kimes k $ matrix. Then,[eq13]

证明

矩阵的迹象是其总和 对角线元件,但换位离开对角线元件不变。

产品追踪

下一个命题涉及矩阵产物的痕迹。

主张 Let A be a $ kimes l $ matrix and $ b $ an $ limes k $ matrix. Then,[eq14]

证明

注意 $ ab $ is a $ kimes k $ matrix and $ ba $ is an $ limes l $ matrix. Then,[eq15]在哪里 in steps $ rame {a} $ and $ rame {b} $ we have used the definition of matrix product但特别是事实 [eq16] 等于圆点产品 k - row of A and the k - column of $ b $, and [eq17] 等于圆点产品 $ l $ - row of $ b $ and the $ l $ - column of A.

标量的踪迹

一个微不足道的,但通常有用的财产 标量等于它 trace 因为标量可以被认为是一个 $ 1 $ 1 $ 矩阵,具有唯一的对角元件,其又等于迹线。

此属性通常用于将DOT产品写为迹线。

例子 Let A be a $ 1 k $ row vector and $ b $ a Kx1 柱矢量。然后,产品 $ ab $ is a scalar, and[eq18]在哪里 在最后一步中,我们使用上一个主张的产品 痕迹。因此,我们已经能够编写标量 $ ab $ as the trace of the $ kimes k $ matrix $ ba $.

解决练习

下面可以找到一些练习解释的解决方案。

练习1

Let A be a 3美元3美元 matrix defined by[eq19]找 its trace.

解决方案

通过求解对角线元素,我们 obtain[eq20]

练习2

Let A be a $ kimes k $ matrix and x a Kx1 vector. Write the product[eq21]作为 两个产物的痕迹 $ kimes k $ matrices.

解决方案

自从 $ x ^ {op} ax $ 是一个标量,我们有那个 [eq22]此外, $ x ^ {op} a $ is $ 1 k $ and x is Kx1. Therefore,[eq23]在哪里 both $ xx ^ {op} $ and A are $ kimes k $.

如何引用

请引用:

Taboga, Marco (2017). "矩阵", Lectures on matrix algebra. //www.enerxy-china.com/matrix-algebra/trace-of-a-matrix.

这本书

本网站上发现的大多数学习材料现在都以传统的教科书格式提供。