搜索Statlect上的概率和统计信息
统计章程
指数 > Matrix algebra

标准依据

经过 ,博士学位

标准的基础是最简单的 basis of the space of all K - 一维 vectors。它是由 有一个进入的载体等于 1 and the remaining $K-1$ entries equal to 0.

目录

定义

在遵循的事情中,我们处理所有人的空间 K - 一维 我们表示的载体 $ s $. 我们未指定矢量是否是行向量或列向量,或 他们的条目是真实的还是复杂的数字。

定义 Let $ s $ be the space of all K - 一维 vectors. Denote by $ e_ {k} $ a vector whose k - entry is equal to 1 and whose remaining $K-1$ entries are equal to 0. Then, the set of K vectors[eq1]是 称为标准基础 $ s $.

标准的基础通常也称为规范或自然基础。

例子 Let $ s $ be the space of all $ 3 $ 1 $ vectors。然后,标准基础 $ s $ 由三个形成 vectors[eq2]

证明标准是一个基础

我们已经确定了标准的基础,但我们没有证明它确实是一个 basis.

主张 The standard basis[eq3]是 a basis of the space $ s $ of all K - 一维 vectors.

证明

记住那个基础 $ s $ is a set of linearly independent vectors. spanning $ s $. Take any vector $ e_ {k} $. 它不能作为其他向量的线性组合写成 E because the k - 进入所有其他vectors 0, while the k - entry of $ e_ {k} $ is 1. Since no vector of E 可以写成其他人的线性组合,然后它们是线性的 独立的。拿任何矢量 $ sin s $ 并表示其参赛作品 [eq4]. Then $ s $ can be written as[eq5]那 作为规范基础的线性组合(参见下一个例子 具体例子)。因此,我们证明了规范基础是一套 线性独立的矢量跨度 $ s $. 因此,规范基础确实是一个基础 $ s $.

例子 Let $ s $ be the space of all $ 2倍1美元 vectors。然后,标准基础 $ s $ is formed by the two vectors[eq6]清楚地, there is no scalar a such that [eq7]或者[eq8]所以 这两个矢量不是彼此的倍数,即它们是 线性独立。现在,拿任何矢量 $ sin s $: [eq9]在哪里 $ s_ {1} $ and $ s_ {2} $ are two scalars. Then,[eq10]在 其他单词,任何矢量 $ s $ 可以写成线性组合 $ s_ {1} $ and $ s_ {2} $.

标准基础和身份矩阵

标准基础和标识矩阵之间存在简单关系。

主张 Let I be the $ kimes k $ identity matrix:[eq11]表示 by [eq12] its rows and by [eq13] 它的列。然后,行 [eq14] are the K 所有空间的标准基础的载体 $ 1 k $ vectors和列 [eq15] are the K 所有空间的标准基础的载体 $ kimes 1 $ vectors.

不需要证明这个命题,因为它是不言而喻的。

例子 Let I be the 3美元3美元 identity matrix[eq16]然后,[eq17]哪个 是空间的标准基础 $ 3 $ 1 $ vectors.

等同的基础

Which bases are 相等的 到标准的基础上,在 感觉他们跨越相同的空间 $ s $ (of all K - 一维 标准跨越的载体?下一个主张答案 this question.

主张 Any set of K 线性独立的矢量是空间的基础 $ s $ of all K - 一维 vectors.

证明

表示一组 K 线性独立的向量 [eq18]认为 that all the vectors [eq19] 标准基础可以写作线性组合 [eq20]:[eq21]在哪里 $ eta _ {j} ^ {k} $ 是组合的(标量)系数。我们打电话给这个 假设A1。如果A1持有,那么任何向量 $ sin s $ having entries [eq22] can be written as[eq23]在 其他单词,任何矢量 $ sin s $ 可以写成线性独立集合的线性组合 vectors belonging to $ b $. As a consequence, $ b $ is a basis for $ s $. 我们证明,如果A1持有,那么 $ b $ 是一个基础。我们现在需要证明A1持有。证据是矛盾的。 假设A1不持有。然后,标准基础的矢量之一 $ s $ 不能被写为vector的线性组合 $ b $. 假设不损失它是 $ e_ {1} $ (如果不是,我们可以重新编号向量)。 Then[eq24]是 一组线性独立的向量。如果A1通过更换持有 $ b $ with $ b_ {1} $, then $ b_ {1} $ is a basis for $ s $, 这导致矛盾是因为1) Dimension Theorem, 所有基础都必须具有相同的基数,但是2)基数 $ b_ {1} $ (equal to $K+1$) 大于标准基础的基数 (K)。 如果A1不保持,则形成一组新的线性独立向量 [eq25]如果 A1通过更换持有 $ b $ with $ b_ {2} $, 然后我们有一个矛盾,否则继续前进和形成 [eq26]. When we get to[eq27]然后 我们知道A1肯定是因为自然基础属于 $ b_ {k} $. 但这也导致了矛盾(基数 $ b_ {k} $ greater than K)。 因此,我们已经证明A1必须持有 $ b $ (否则我们有一个矛盾)。所以, $ b $ is a basis for $ s $.

解决练习

下面可以找到一些练习解释的解决方案。

练习1

写下所有集合的标准基础 $ 1次4美元 vectors.

解决方案

基础 is[eq28]

如何引用

请引用:

Taboga, Marco (2017). "标准依据", Lectures on matrix algebra. //www.enerxy-china.com/matrix-algebra/standard-basis.

这本书

本网站上发现的大多数学习材料现在都以传统的教科书格式提供。