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行等价

经过 ,博士学位

此讲义定义了行等价的概念,并证明了一些 关于许多人侧的行等同矩阵的命题 线性代数的重要结果。

目录

定义

我们从行等价的定义开始。

定义 Let A and  $ b $ be two  $ kimes l $ 矩阵。我们这么说 A is row equivalent to  $ b $ 如果并且只有存在  $ kimes k $ elementary matrices [eq1] such that[eq2]

请记住,预先乘以 A 由基本矩阵与执行相同 elementary row operation on A. Therefore, A is row equivalent to  $ b $ if and only if A 可以转化为  $ b $ 通过执行一系列基本行操作 A.

等价关系

行等价是一种等价关系,因为它是:

证明

认为 A is row equivalent to  $ b $ . 由于基本矩阵是可逆性的,并且其逆是一个基本的 matrix, we have that [eq3] 在哪里 [eq4] 是基质矩阵。所以,  $ b $ is equivalent to A. 这证明对称性。如果 A is equivalent to  $ b $ and  $ b $ is equivalent to  $ C $ , then[eq2][eq6] 在哪里 [eq7] and [eq8] 是基质矩阵。现在,预先乘以第一个等式的两侧 [eq9]:[eq10] 然后, A is equivalent to  $ C $ , 也就是说,行等价是传递的。最后,对于任何基本矩阵 E, we can write[eq11] 自从  $ e ^ { -  1} $ 是基本的,这意味着我们可以改变 A 通过基本行运营进入自己。结果是行 等价是反身。

列对应物业

下一个命题规定了行等效项的重要属性,称为 列对应属性。

主张 Let A and  $ b $ be two  $ kimes l $ matrices. Let A be row equivalent to  $ b $ . Denote by $ a_ {ullet l} $ and $ b_ {ullet l} $ the  $ l $ - columns of A and  $ b $ respectively. Then, [eq12] 为了 an  $ limes 1 $ vector  $ v $ if and only if[eq13]

证明

自从 A is row equivalent to  $ b $ , we have that[eq14] 在哪里 E 是小学的产品 matrices:[eq15]此外, 通过矩阵产品的定义(另见 here ): [eq16] 因此, we can substitute[eq17][eq18] 在 the equation[eq19] 所以 as to obtain[eq20] 经过 预先乘坐双方 E, we get[eq21] 因此, we have proved that $ a_ {ullet l} = av $ implies $ b_ {ullet l} = bv $. 相反的含义 ($ b_ {ullet l} = bv $ implies $ a_ {ullet l} = av $ ), 可以类似地证明。

In other words, when A and  $ b $ 是行量等价物,是  $ l $ - column of A can be written as a linear 给定一组列的组合 of A 本身,从载体中取系数  $ v $ , if and only if the  $ l $ - column of  $ b $ 是相应一组列的线性组合  $ b $ , 从同一载体中取得系数  $ v $ .

先前主张的一个有用的必然结果。

主张 Let A and  $ b $ 是两行等效矩阵。然后,一组列 A is linearly independent if 只有当相应的一组列  $ b $ 是线性独立的。

证明

证据是矛盾的。假设 a set of columns of A 是线性独立的,但相应的列  $ b $ 是线性依赖的。它遵循一列 $ b_ {ullet l} $ 可以写成其他的线性组合 columns:[eq22] 在哪里 $v
eq 0$. 特别是,有一些非零条目  $ v $ 对应于我们正在考虑的集合中的列。但是到了 以前的命题,这意味着 [eq19] 在 其他单词,这组列 A 不是线性独立的,一个矛盾。因此,如果一组列 of A 是线性独立的,然后是相应的列  $ b $ 必须是线性独立的。可以证明相反的含义 analogously.

主导列

本节介绍了主要列的概念,将使用 下面研究行等同矩阵的属性。

定义 Let A be a  $ kimes l $ matrix. Denote its  $ l $ - column by $ a_ {ullet l} $. We say that $ a_ {ullet l} $ 如果且才可才能写入其中,是一个主导列 线性 combination 的 the columns to its left.

跟随主导列的第一个简单结果。

主张 两个等同的矩阵 A and  $ b $ 具有相同的主导列,即,这组索引 dominant columns of A 与主要列的一组指数一致  $ b $ .

证明

认为 $ a_ {ullet l} $ 是一个占主导地位的栏目 A. 然后,没有矢量 [eq24] 这样的 that [eq19] 经过 上面的列对应属性,如果且仅当 没有这样的矢量 satisfying[eq26] 作为 a consequence, $ b_ {ullet l} $ 不能写入列到左列的线性组合。因此它 占主导地位。我们刚刚证明了这一点 $ a_ {ullet l} $ is dominant only if $ b_ {ullet l} $ 占主导地位。相反含义的证据是类似的。这是持有的 for any  $ l $ . 因此,占主导地位的列 A are dominant also in  $ b $ and vice versa.

例如,如果主导列 A 是第二个,第三和第五个,那么主要的列  $ b $ 是第二个,第三和第五个。

缩小行梯度形式的行等效矩阵

上述命题允许我们证明矩阵的一些性质 reduced row echelon form.

请记住,如果才能缩小到缩小的行echelon形式(rref),如果且仅当:

Furthermore, the 高斯 - 乔丹消除 algorithm 可用于将任何矩阵转换为RREF矩阵 基本行操作。因此,任何矩阵都是等于RREF的行 matrix.

请记住,基本列是包含枢轴的列,而非基本情况 列不包含任何枢轴。

RREF矩阵的基本列是其中的矢量 canonical basis,也就是说,他们 有一个等于1的条目,所有其他条目等于零。 此外,如果RREF矩阵有  $ b $ 基本列,那些列是第一个列  $ b $ 规范基础的载体,如下列主张所述。

主张 Let  $ r $ 是缩减行梯度形式的矩阵。然后,这  $ l $ - basic column of  $ r $ , 从左侧计数,等于  $ l $ - 传统的规范基础,即,它有一个位置  $ l $ 所有其他条目等于0。

证明

通过RREF矩阵的定义,基本 columns of  $ r $ 是规范基础的载体(它们有一个等于1的条目和所有条目 其他条目等于0)。此外,所有非零行都包含枢轴。 Therefore, the  $ l $ - 基本列包含  $ l $ - 枢轴,位于  $ l $ - 排。换句话说,等于1的枢轴是  $ l $ - entry of the  $ l $ - basic column.

我们现在陈述有关基本和非基本列的一些简单结果。

主张 缩减行梯度形式的矩阵的基本柱是主要柱。

证明

一个基本列包含枢轴,等于1, 枢轴左侧的所有条目等于0。因此, 基本列不能写成列的线性组合 左(0s的线性组合可以等于1)。因此,这是一个主导 column.

主张 减少行梯度形式中矩阵的非基本列不是主导 column.

证明

如果是一列 $ r_ {ullet l} $ 是非基本的,也就是说,它没有枢轴,那么它可以写成 as[eq27] 在哪里 k 它左边的基本列数(下面的条目 k - 必须是零,因为  $ m $ - pivot, with $m>k$, 只有0s到左边)。因此,非基本列 $ r_ {ullet l} $ 可以写成列到左列的线性组合。为了 example, if $k=3$ 而第一个,第三和第四列是基本的, then[eq28] 因此, if a column $ r_ {ullet l} $ 是非基本的,它不是线性地独立于左图。 因此,它不是主导列。

通过组合上面的两个简单命题,我们得到了以下一个。

主张 如果矩阵处于缩小的行梯形表单,则其中一个列是基本的 如果且仅当它是占主导地位,而且只有在不是 dominant.

证明

通过以前的命题,如果列是 主导,那么它不能是非基本的。因此,它是基本的。我们已经 建立相反的含义(基本意味着主导)。因此,A 如果它是基本的,则列是占主导地位的。等价证明 非主导列是类似的。

因此,当矩阵处于缩小的行梯度形式时,我们可以使用概念 基本和主导柱互换。

我们现在准备说明了这讲座的最重要命题。

主张 任何矩阵都是等于缩小行梯度形式的唯一矩阵。

证明

我们已经解释了任何矩阵 A 是可以派生的缩减行梯旋形式中的矩阵的行 通过使用高斯 - 乔丹消除算法。我们需要证明唯一性。 假设两个矩阵  $ r_ {a} $ and  $ s_ {a} $ 在缩小的行梯队形式中,它们都是相当于的 A. 由于行等价是传递和对称的,  $ r_ {a} $ and  $ s_ {a} $ 是相当的。因此,他们的主导列的位置 重合。等效地,它们的基本列的位置一致。但我们 已经证明了  $ l $ - RREF矩阵的基本列,从左侧计数,等于  $ l $ - 传染媒介的规范基础。因此,不仅是基本列  $ r_ {a} $ and  $ s_ {a} $ 具有相同的位置,但它们相应的条目一致。这 非基本列是基本组的线性组合。通过列 上面的通信属性,线性组合的系数是 the same for  $ r_ {a} $ and  $ s_ {a} $ . 但是,由于基本的载体也是线性的重合 columns of  $ r_ {a} $ and  $ s_ {a} $ 重合。因此,每个非基本列  $ r_ {a} $ 等于相应的非基本列  $ s_ {a} $ . Thus, $ r_ {a} = s_ {a} $, 这证明了矩阵的行等效RREF是唯一的。

这种唯一性结果的结果是,如果两个矩阵是行 等同,然后它们等同于相同的RREF矩阵。

主张 Let A be row equivalent to  $ b $ . Then, A and  $ b $ 相当于相同的RREF矩阵  $ r_ {a} $ .

证明

表示  $ r_ {a} $ and  $ r_ {b} $ 作为行等同的RREF矩阵  $ a $ and  $ b $ respectively:[eq29] 在哪里  $ e_ {a} $ and  $ e_ {b} $ 是基本矩阵的产品。此外, A is row equivalent to  $ b $ , so that[eq30] 在哪里  $ e_ {ab} $ 是基本矩阵的产物。我们预先乘以方程的两侧。 (3)通过  $ e_ {b} $ , so as to get[eq31] 自从 $ e_ {b} e_ {ab} $ 是基本矩阵的产品,  $ r_ {b} $ 是相当于的RREF矩阵行 A. 但RREF行等效矩阵是唯一的。所以, $ r_ {a} = r_ {b} $.

等级和等价

在本节中,我们介绍了我们证明的结果的一些主要原 前一节。

主张 Let A be a  $ kimes k $ invertible matrix 。 然后, A 是相当于的行  $ kimes k $ identity matrix I.

证明

通过上面的结果,我们知道 A 是相当于唯一的RREF矩阵的行  $ r $ . Furthermore, A 可以转化为  $ r $ 通过基本行操作,即通过预先乘以 A 通过可逆的矩阵 E (等于用于执行行的基本矩阵的乘积 operations):[eq32] 但 我们知道可逆性的预乘以(即, full-rank ) 矩阵 does not alter the rank。所以,  $ r $ 是全级别的。结果,所有列  $ r $ 是基本的(不能有非基本列,因为a的列 全秩矩阵彼此线性地独立。但这意味着 that the K columns of  $ r $ are the K 规范基础的空间的载体 K - 一维 vectors。换句话说,他们是 K columns of the  $ kimes k $ 身份矩阵。因此,  $ r = i $ .

显然,由于身份矩阵 I 是缩减行梯形形式的矩阵,任何可逆矩阵都是等效的 到唯一的RREF矩阵 I.

先前命题的直接后果遵循。

主张 Let A be a  $ kimes k $ 可逆矩阵。然后, A 可以写作小学的产品 matrices:[eq33] 在哪里 [eq7] 是基质矩阵。

证明

通过以前的命题,身份 matrix I is row equivalent to A. 因此,通过对行等同矩阵的定义,我们有 that[eq35] 在哪里 [eq7] 是基质矩阵。

虽然前两个命题涉及广场可逆矩阵,但是 以下命题适用于可以是非正方形的矩阵 non-invertible.

主张 Let  $ r $ 是一个相当于矩阵的RREF矩阵 A. Then A and  $ r $ 有相同的等级。排名等于1)非零行的数量  $ r $ 或者,等效为2)基本列的数量  $ r $ .

证明

首先,记住预先乘法 a matrix A 通过可逆的矩阵 E 不会改变级别 A. As a consequence, if E (基质矩阵的可逆产物)变换 A 进入行等效RREF矩阵  $ r = ea $ , we have that[eq37] 这 rank of  $ r $ 等于线性独立列的最大数量  $ r $ . The basic columns of  $ r $ 是线性的,而非基本列可以作为线性写入 基本组合。因此,等级  $ r $ 等于基本列的数量  $ r $ . 此外,每个基本列包含枢轴和每个非零行 包含一个枢轴。结果,等级也等于数量 non-zero rows of  $ r $ .

如何引用

请引用:

Taboga, Marco (2017). "行等价", Lectures on matrix algebra. //www.enerxy-china.com/matrix-algebra/row-equivalence.

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