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排名 - 无效定理

经过 ,博士学位

秩 - 无效定理指出线性域的维度 函数等于其范围范围的尺寸的总和(即,该组 Codomain中的值实际占用)和内核(即, 映射到零向量的域中的值集 codomain).

目录

线性功能

首先,我们需要定义一个 linear map $ f:s
ighararow t $ between two 向量 spaces  $ s $ and  $ t $ , 也就是说,这样的功能 that[eq1] 为了 any two vectors $ s_ {1},s_ {2}以s $ and any two scalars $ lpha _ {1} $ and $ lpha _ {2} $.

领域

The set  $ s $ 被称为域名  $ F $. .

是矢量空间,域  $ s $ has a dimension, denoted by[eq2] 哪个 等于快三一定牛的元素数量  $ s $ (任何快三一定牛;记住空间的所有快三一定牛都有相同数量的 elements).

的范围(或图像)  $ F $. 是Cocomain的子集  $ t $ 这包括所有的所有值 $ flutft(s
Ight)$ as  $ s $ varies over  $ s $ :[eq3]

正如我们在讲座的情况下 线性地图的范围, $ qtr {rm} {范围} f $ is a subspace of  $ t $ . 它的维度称为等级,是 by[eq4]

无效

null空格(或内核)  $ F $. 是域的子集  $ s $ 这包括映射的所有值  $ F $. 进入零媒体  $ t $ :[eq5]

正如我们在讲座的情况下 线性空间 map, $ qtr {rm} {null} f $ is a subspace of  $ t $ . 它的维度称为无效,是 by[eq6]

定理

以下是线性代数中最重要的定理之一,称为 排名 - 无效定理。

主张 Let  $ s $ and  $ t $ 是两个线性空间。让 $ f:s
ighararow t $ be a linear map. If [eq7] is finite, then [eq8]

证明

[eq9] 和 choose a basis [eq10] for $ qtr {rm} {null} f $. Let[eq11] 和 choose a basis [eq12] for  $ s $ . By the 快三一定牛 extension theorem,我们可以形成新的快三一定牛  $ s $ that contains [eq10]:[eq14]可能 重新编号快三一定牛的矢量后 [eq15]. Any  $ sin s $ 可以是唯一写作的快三一定牛的线性组合 above:[eq16] 在哪里 [eq17] 是标量。然后我们 have[eq18] 在哪里 in step $ rame {a} $ 我们已经使用了这个事实 [eq10] 属于null空格  $ F $. 而且,因此, [eq20]. 等式刚刚衍生出任何  $ sin s $ , which implies that $ qtr {rm} {范围} f $ is spanned by the  $ n-k $ vectors[eq21] 我们 需要证明这些向量是线性的。通过矛盾, 假设他们不是。然后,它们可以线性地组合以便获得 zero vector:[eq22] 在哪里 [eq23] 是线性组合的系数(并不等于零)。由这件事 linearity of  $ F $. , we have that[eq24] 哪个 means that the vector[eq25] 属于 to $ qtr {rm} {null} f $. Since [eq10] is a basis for $ qtr {rm} {null} f $, 我们可以将后一种向量写成为线性组合 [eq27] with coefficients [eq28]:[eq29] 或者 [eq30] 因此, 快三一定牛上有线性组合  $ s $ , 与系数并不等于零,使零向量作为a 结果。这是不可能的,因为快三一定牛的元素是线性的 独立的。因此,我们已经到了一个矛盾,这意味着 the  $ n-k $ vectors[eq31] 必须 线性地独立。我们已经证明他们跨越了 $ qtr {rm} {范围} f $. 所以,我们得出结论,他们是一个快三一定牛 $ qtr {rm} {范围} f $. Hence,[eq32]

解决练习

下面可以找到一些练习解释的解决方案。

练习1

正如我们在讲座中证明的那样 线性 maps,一个线性地图 $ f:s
ighararow t $ 完全由所花的值完全指定  $ F $. on a basis for  $ s $ .

Let [eq33] be a basis for  $ s $ and [eq34] be a basis for  $ t $ .

Specify the function  $ F $. as follows:[eq35]

找到尺寸  $ s $ and $ qtr {rm} {范围} f $ 然后使用秩-nullity定理来找到无效的  $ F $. .

解决方案

由于有三个向量 basis  $ b $ , we have that[eq36] 任何 vector  $ sin s $ 可以写成线性 combination[eq37] 在哪里 [eq38] 是标量。转变 vectors[eq39] 能够 被写为线性组合  $ c_ {1} $ and  $ c_ {3} $ . As a consequence, [eq40] is a basis for $ qtr {rm} {范围} f $. Therefore,[eq41] 到 conclude, we get[eq42]

如何引用

请引用:

Taboga, Marco (2017). "排名 - 无效定理", Lectures on matrix algebra. //www.enerxy-china.com/matrix-algebra/rank-nullity-theorem.

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