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线性地图的范围

经过 ,博士学位

线性地图(或功能或转换) $ f:s
ighararow t $ 转换线性空间的元素 $ s $ (域名)进入另一个线性空间的元素 $ t $ (the codomain).

线性变换的范围(或图像)是Codomain的子集 $ t $ 由地图采取的所有值形成 $ flutft(s
Ight)$ as its argument $ s $ 在域中变化 $ s $.

目录

范围的定义

随后的范围的正式定义。

定义 Let $ s $ and $ t $ be two 向量 spaces。让 $ f:s
ighararow t $ be a linear map。这 set[eq1]是 称为范围(或图像) $ F $..

有些例子遵循。

例子 Let $ s $ and $ t $ 分别是所有的空间 $ 2倍1美元 and $ 3 $ 1 $ column vectors having real entries. Let $ f:s
ighararow t $ 是矩阵定义的线性映射 product[eq2]在哪里 [eq3]表示 by $ a_ {1},a_ {2} $ the two columns of A and by $ s_ {1},s_ {2} $ 任意选择的两个参赛作品 $ sin s $. The product $ AS $ can 被写为列的线性组合 of A 从载体中取得系数 $ s $:[eq4]这 coefficients $ s_ {1} $ and $ s_ {2} $ 是可以从一组实数选择的标量 适当地选择相应的 vector[eq5]在 other words, as $ s $ 在域中变化 $ s $, 我们建立一切 linear combinations 的 the two columns $ a_ {1} $ and $ a_ {2} $. 但是两个向量的所有线性组合的集合是他们的 linear span。要结束,我们有 that the range of $ F $. is[eq6]笔记 that $ a_ {1} $ and $ a_ {2} $ are linearly independent 因为它们不是彼此的倍数。因此,维度的维度 $ qtr {rm} {范围} f $ 等于2,小于空间的尺寸 $ t $ of all $ 3 $ 1 $ 等于3的柱矢量(讲座中解释了这些事实 on the dimension of a linear space)。因此,在这种情况下,该功能的图像 $ F $. 是一个适当的子集 $ t $.

例子 In the lecture on linear maps we 已经解释了线性转换 $ f:s
ighararow t $ 完全由所花的值完全指定 $ F $. 在通信的情况下 basis of $ s $. Let [eq7] and [eq8] be bases for $ s $ and $ t $, 分别。让我们定义 $ F $. by[eq9]任何 vector $ sin s $ 可以在基础上表示 $ b $ as[eq10]在哪里 [eq11] 是标量。通过线性的 $ F $., we have that[eq12]作为 $ s $ 在域中变化 $ s $, the coefficients [eq13] 在实数集中承担任何可能的值 R. 更精确,三重态 [eq14] 承担任何可能的价值 $ u {211d} ^ {3} $ (otherwise $ s $ 不会是基础跨越的空间 $ b $)。 结果,两者 coefficients[eq15]拿 在任何可能的价值 $ u {211d} ^ {2} $ (例如,可以设置 $ lpha _ {2} = 0 $ and let $ lpha _ {1} $ and $ lpha _ {3} $ 意志而变化)。因此,as. $ s $ varies over $ s $, its transformations[eq16]是 所有可能的线性组合 $ c_ {1} $ and $ c_ {2} $. But [eq17] is a basis for $ t $. 因此,所述线性组合跨越全部 $ t $. To summarize,[eq18]

该范围是Codomain的线性子空间

正如您可能猜到前面的示例一样,范围总是一个 Codomain的子空间(即,它是Codomain的子集,它已关闭 关于线性组合)。

主张 Let $ s $ and $ t $ 是两个矢量空间。让 $ f:s
ighararow t $ 是一个线性地图。然后,范围 $ qtr {rm} {范围} f $ is a subspace of $ t $.

证明

我们需要检查任何线性组合 of elements of $ qtr {rm} {范围} f $ still belongs to $ qtr {rm} {范围} f $ (即,那个定义 subspace 持有)。选择任意两份 vectors [eq19] and any two scalars $ lpha _ {1} $ and $ lpha _ {2} $. 然后,存在两种向量 $ s_ {1},s_ {2}以s $ such that[eq20]而且, 通过地图的线性 $ F $., we have that[eq21]所以, 任意线性组合 [eq22] is associated by $ F $. to the vector[eq23]哪个 belongs to $ s $. 因此,任何线性组合的元素 $ qtr {rm} {范围} f $ 是一些元素的转变 $ s $ through the function $ F $. ,也就是说,它仍然属于 $ qtr {rm} {范围} f $. 这就是我们所需要的。

有趣的是,零载体始终属于该范围。看看为什么 the case, choose any $ sin s $ 并且注意到,通过线性度 $ F $., we have that[eq24]

解决练习

下面可以找到一些练习解释的解决方案。

练习1

Let $ s = t $ be the space of all $ 2倍1美元 具有真实条目的列向量。让 $ f:s
ighararow t $ 是由...定义的线性地图 [eq25]在哪里 [eq26]

Find the image of $ F $..

解决方案

对于任何一个 $ sin s $, denote by $ s_ {1} $ and $ s_ {2} $ the two entries of $ s $, so that[eq27]作为 $ s $ varies over $ s $, the scalar $ s_ {1} $ 可以承担任何实际价值。因此,图像的形象 $ F $. is the span of the vector[eq28]在 other words,[eq29]

练习2

Let $ s = t $ be the space of all $ 3 $ 1 $ 具有真实条目的列向量。让 $ f:s
ighararow t $ 是矩阵定义的线性映射 product[eq30]在哪里 [eq31]

Is the range of $ F $. a proper subspace of $ t $?

解决方案

产品 $ AS $ can be written as[eq32]在哪里 $ s_ {1},s_ {2},s_ {3} $ 是三个参赛作品 $ s $ and $ a_ {1},a_ {2},a_ {3} $ 是三列 A. 后者是线性独立的:通过观察 A, 我们可以看到它的一列都可以作为线性组合写成 其他。因此,列 [eq33] 跨越尺寸3的空间,这与所有人的空间一致 $ 3 $ 1 $ column vectors. Thus,[eq34]作为 a consequence, $ qtr {rm} {范围} f $ 不是适当的子空间 $ t $, as it coincides with $ t $.

如何引用

请引用:

Taboga, Marco (2017). "线性地图的范围", Lectures on matrix algebra. //www.enerxy-china.com/matrix-algebra/range-of-a-linear-map.

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