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指数 > Matrix algebra

范围空 - 空间分解

经过 ,博士学位

空间分解范围是向量空间的表示 给定的范围的直接和空间 matrix.

目录

范围和空白

让我们修改矩阵的范围和空白的概念,这是 在讲座中详细讨论了 the four fundamental subspaces.

Suppose that A is a $ kimes k $ matrix and $ s $ is the space of all Kx1 column vectors.

The matrix A defines a linear map [eq1]这样的 that [eq2]为了 any $ sin s $.

The range (or column space) of A is the subspace[eq3]那 是,作为其参数的地图所拍摄的所有值的集合随着它的变化 domain $ s $.

The null space of A is the subspace[eq4]形成 通过所有的元素 $ s $ 映射到零向量中。

矩阵权力

让我们考虑权力 $ a ^ {m} $. In the lecture on matrix powers we have proved that [eq5] and its dimension 随着我们增加力量,减少 $ m $, while [eq6] 其维度同时增加。但是,在某个某个点处 子空间稳定:存在整数 $ kleq k $ such that[eq7]为了 any integer $ jgeq 1 $.

最小的非负整数 k 以上的上述相位持有通常被称为 指数 of A, 虽然有时这个术语在线性代数中具有不同的含义 literature.

直接总和

我们将证明和讨论的范围空间分解 below, asserts that[eq8]在哪里 k is the index of A and the $ oplus $ symbol denotes a direct sum.

请记住,这两个的总和 subspaces[eq9]是 直接(我们使用 $ oplus $ instead of the $ + $ 符号表示)如果只是 if[eq10]在 哪种例子是任何载体的表示 [eq11] as a sum of a vector [eq12] and a vector [eq13] is unique.

此外,当直接总和等于整个空间时 $ s $, 正如在空隙范围分解的情况下,我们说这两个人 spaces [eq14] and [eq15] are complementary.

路口

我们将要证明的第一个结果是 [eq16] and [eq15] 仅包含零向量。

主张 Let A be a $ kimes k $ matrix. Let k 是任何非负整数,这样 [eq18] and [eq19]. Then,[eq20]

证明

$ s $ be the space of all Kx1 column vectors. Let [eq21]. Since [eq22] we have[eq23]而且, since [eq24], there exists $锡 such that [eq25]我们 可以预先乘以等式的两侧 $ a ^ {k} $, so as to get[eq26]因此, [eq27]. But [eq28] 由于禁止空白空间。作为结果, [eq29], which implies that[eq30]自从 $ s $ 被任意选择,我们可以得出结论是交叉路口 [eq31] 仅包含零向量。

分解

在修改范围中涉及的所有概念之后 分解,我们现在准备将其称为一个命题。

主张 Let $ s $ be the space of all Kx1 column vectors. Let A be a $ kimes k $ matrix. Let k 是任何非负整数,这样 [eq32] and [eq33]. Then,[eq34]

证明

我们将使用以下结果, 我们在讲座中证明了 补充子空间: [eq35] and [eq15] 如果且才是才会互补 $ bcup c $ is a basis for $ s $ whenever $ b $ is a basis for [eq35] and $ C $ is a basis for [eq38]. 任意选择两个这样的基地 [eq39] and [eq40]. Suppose that $ bcup c $ is a set of linearly dependent vectors。然后有标量 [eq41], 并非全部等于零,这样 that[eq42]或者[eq43]在哪里 最后的不平等从这个事实下降了 $ b $ and $ C $ 是线性独立的矢量集,标量不是全部为零。 But[eq44][eq45]这 是不可能的,因为如上所述, [eq46] 仅包含零向量。因此,我们通过矛盾证明了 $ bcup c $ 是一组线性独立的矢量。而且,由此 rank-nullity theorem, $ k = n + m $. Thus, $ bcup c $ is a set of K 线性独立的向量。换句话说,它是一个基础 $ s $. Since $ b $ and $ C $ 在基础之间任意选择 [eq35] and [eq48] 分别下降 [eq49] and [eq15] 是补充子空间,即, [eq51]

当分解是微不足道的

When the matrix A is full-rank, 范围 空空间分解是微不足道的:自从 两个全级别的产品 matrices 是 full-rank, $ a ^ {k} $ 对于任何非负整数是全级别的 k. 换句话说,列的列 $ a ^ {k} $ 总是线性独立,因此他们 span all of $ s $. Thus,[eq52]为了 any k, 这使得分解微不足道。

Note that $ a ^ {0} = i $ (where I is the identity matrix) 和 [eq53]. 因此,全级矩阵的索引是 0.

运营商的分解

我们证明广场矩阵的一切都可以应用于 linear operators on 有限尺寸空间。事实上,在有限尺寸的情况下,每个 方矩阵定义了操作员,每个操作员与广场相关联 matrix.

请记住,提高矩阵 k - 整数功率与 composing its associated operator k times with itself.

因此,我们可以说明线性运算符的范围空间分解为 follows.

主张 Let $ s $ 有限的 vector space。让 $ f:s
ighararow s $ 是一个线性运算符。然后,存在非负整数 k such that[eq54]

解决练习

下面可以找到一些练习解释的解决方案。

练习1

Find the index of [eq55]和 确定范围无空间分解 A.

解决方案

我们 have[eq56]这 second power of A is[eq57]从 我们可以清楚地看到 that[eq58]因此, the index of A is 1 and[eq59]

如何引用

请引用:

Taboga, Marco (2017). "范围空 - 空间分解", Lectures on matrix algebra. //www.enerxy-china.com/matrix-algebra/range-null-space-decomposition.

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