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正定的矩阵

经过 ,博士学位

A square matrix is 正定的,如果预先乘以和将其乘以相同的情况 矢量总是给出一个正数,而不是我们的方式 choose the vector.

正定的对称矩阵具有所有的属性 特征值是积极的。

目录

真正的二次形式

我们首先定义二次形式。暂时,我们局限于我们的 注意真实矩阵和真正的矢量。在这次讲座结束时,我们 讨论更一般的复杂案例。

定义 Let A be a $ kimes k $ 真实矩阵。一种二次形式 A is a transformation[eq1]  $ $ 在哪里 x is a Kx1 vector and $ x ^ {op} $ is its transpose.

The transformation $ x ^ {op} ax $ is a scalar because $ x ^ {op} a $ is a $ 1 k $ 行矢量及其产品与 Kx1 column vector x 结果给出了标量。

例子 Define[eq2] 给予 a $ 2倍1美元 vector x, 由矩阵定义的二次形式 A is[eq3]

限制对称矩阵的关注

当我们研究二次形式时,我们可以将我们的注意力限制在对称 矩阵没有损失。

记住矩阵  $ b $ 如果和只有对称 if[eq4]

任何二次形式都可以写成 as[eq5] 在哪里 in step $ rame {a} $ 我们已经使用了这个事实 $ x ^ {op} ax $ 是标量,标量的转置等于标量身。

The matrix[eq6] 是 symmetric because[eq7]

因此,我们证明我们可以始终编写二次形式 as[eq8] 在哪里  $ b $ is symmetric.

明确

可以基于二次形式的符号对方形矩阵进行分类 that they define.

在遵循的情况下,iff代表“且仅当才有”。

定义 Let  $ s $ be the space of all Kx1 具有真实条目的vectors。一种 $ kimes k $ real matrix A is said to be:

  1. 积极的IFF $ x ^ {op} ax>0$ for any non-zero  $ xin s $ ;

  2. 正半明确的IFF $ x ^ {op} axgeq 0 $ for any  $ xin s $ ;

  3. 负面明确的IFF. $ x ^ {op} ax<0$ for any non-zero  $ xin s $ ;

  4. 否定半定义IFF $ x ^ {op} axleq 0 $ for any  $ xin s $ ;

  5. 无限期的IFF存在 $ x,yin s $ such that $ x ^ {op} ax>0$ and $ y ^ {op} ayy<0$.

让我们举个例子。

例子 Define[eq9] 给予 a $ 2倍1美元 vector x, 由矩阵定义的二次形式 A is[eq10] 自从 the sum[eq11] 每当 $x_{1}
eq 0$ and $x_{2}
eq 0$ (hence $x
eq 0$ ), the matrix A 是积极的。

定义中的对称性

我们注意到许多教科书和论文要求一个积极的矩阵 是对称的。我们保持要求独特:每次对称性都是 需要,我们将明确地这么说。

专注于积极性

从现在开始,我们将主要集中在积极的积极和半确定上 矩阵。对这些矩阵获得的结果可以及时适应 负定和半确定矩阵。事实上,如果 A 是消极的(半)明确,然后  $ -a $ 是积极的(半)确定。因此,结果通常可以简单地调整 switching a sign.

积极的矩阵是全排名

遵循的重要事实。

主张 Let A be a $ kimes k $ matrix. If A 是积极的,那是 full-rank.

证明

证据是矛盾的。假设 A 不是全级别。然后它的列不是 linearly independent 。 作为一个 结果,有一个 Kx1 vector $x
eq 0$ such that[eq12] 我们 可以预先乘以等式的两侧 $ x ^ {op} $ and obtain[eq13] 自从 A 是积极的,只有在 $x=0$, 矛盾。因此 A must be full-rank.

正定矩阵的特征值

以下命题提供了肯定的标准。

主张 A real symmetric $ kimes k $ matrix A 如果才能是积极的 eigenvalues are 严格积极的真实数字。

证明

让我们证明“只有”部分,开始 从假设中 A 是积极的。让 $ lambda $ be an eigenvalue of A and x 其中一个相关的特征向量。对称性 A implies that $ lambda $ 是真的(见讲座 properties 特征值和特征向量)。而且, x 可以选择自真实的解决方案以来是真实的 $x
eq 0$ to the equation[eq14] 是 保证存在(因为 $ a-lambda i $ 是由特征值的定义的排名缺陷。然后我们 have[eq15] 在哪里 [eq16] is the norm of x. Since x is an eigenvector, $x
eq 0$. 此外,通过常态的明确性, [eq17]. Thus, we have[eq18] 因为 $ x ^ {op} ax>0$ 通过假设 A 是正定的(我们已经上面证明了二次形式 $ x ^ {op} ax $ 涉及真正的矢量 x, 在我们对积极肯定的定义中需要这一点)。我们已经证明了 那种特征值 A 根据需要严格积极。让我们现在证明“如果”部分,开始 从假设中,所有特征值 A 是严格的真实数字。自从 A 是真实的和对称的,它可以是对角线的 follows:[eq19] 在哪里  $ p $. is orthogonal and  $ d $ 是具有特征值的对角线矩阵 A 在主角线上(如讲座所证明 normal matrices)。特征值 严格积极,所以我们可以 write[eq20] 在哪里 $ d ^ {1/2} $ 是一个对角线矩阵,使其 $ left(k,k
Ight)$ - entry satisfies[eq21] 为了 $ k = 1,ldots,k $. Therefore, [eq22] 和, for any vector $x
eq 0$, we have[eq23] 这 matrix  $ p $. , being orthogonal, is invertible (因此全级别)。矩阵 $ d ^ {1/2} $ 是对角线(因此三角形),其对角线条目是严格呈正的, which implies that $ d ^ {1/2} $ 是可逆的(因此全级别) 三角形的性质 matrices. 这 product 两个全级矩阵是全级别。所以, $ pd ^ {1/2} $ is full-rank. Thus,[eq24] 因为 $x
eq 0$. 通过正常的积极明确,这意味着 [eq25] 和, as a consequence,[eq26] 因此, A 是积极的。

正半定矩阵的特征值

对于正半定矩阵非常相似的主张。

在下面的正面实数意味着大于的实际数字 or equal to zero.

主张 A real symmetric $ kimes k $ matrix A 如果只有它是正面的那样,那么 eigenvalues are 积极的真实数字。

证明

我们不重复所有细节 证明,我们只是突​​出上一个证明(对于积极的榜样) 确定的情况)需要改变。第一个变化是“只有”部分, where we now have[eq27] 因为 $ x ^ {op} axgeq 0 $ 通过假设 A 是积极的半定。第二个变化是在“如果是部分”,我们在哪里 have [eq28] 因为 the entries of  $ d $ 不再保证严格积极,因此 $ d ^ {1/2} $ 不保证全级别。它遵循 [eq29]

复杂的案例

When the matrix A and the vectors x 被允许复杂,二次形式 becomes[eq30] 在哪里 $ x ^ {st} $ denotes the conjugate transpose of x.

Let  $ s $ be the space of all Kx1 具有复杂条目的vectors。一种 $ kimes k $ complex matrix A is said to be:

相似地定义了负面明确和半确定的情况。

注意,共轭转子留下了不受影响的真正标量。作为一个 结果,如果复杂的矩阵是正定的(或半定义), then[eq31] 为了 any x, which implies that $ a = a ^ {st} $. 换句话说,如果复杂的矩阵是正定的,那么它是 Hermitian.

同样在复杂的情况下,一个正定的矩阵 A 是全级别(上面的证明几乎没有变化)。

Moreover, since A 是亨密人,它是正常的,其特征值是真实的。我们还有那个 A 如果才是才能是正半明确(明确),如果它的特征值是 正(resp。严格正面)实数。证据几乎是 与我们所看到的那些相同。在调整这些证据时, 我们只需要记住在复杂的地方 case[eq32]

解决练习

下面可以找到一些练习解释的解决方案。

练习1

Let A 是一个复杂的矩阵和 x 其中一个特征向量。你能写二次表格吗? $ x ^ {st} ax $ in terms of [eq16]?

解决方案

$ lambda $ 是与之相关的特征值 x. Then,[eq34]

练习2

你能告诉是否矩阵 [eq35] 是 positive definite?

解决方案

x be a $ 2倍1美元 向量。表示其条目  $ x_ {1} $ and  $ x_ {2} $ . Then,[eq36] 然后, $ x ^ {op} ax>0$ if $x
eq 0$ and A 是积极的。

练习3.

Suppose that A 是一个复杂的负面明确矩阵。你能说出它的标志 eigenvalues?

解决方案

如果 A 是负面的明确, then[eq37] 为了 any $x
eq 0$. As a consequence,[eq38] 在 其他单词,矩阵  $ -a $ 是积极的。它遵循的是特征值  $ -a $ 严格积极。如果 $ lambda $ is an eigenvalue of  $ -a $ 与特征向量相关联 x, then[eq39] 这 后一程等式相当于 to[eq40] 所以, if $ lambda $ is an eigenvalue of  $ -a $ , then $ -lambda $ is an eigenvalue of A. 因此,特征值 A 严格负面。

如何引用

请引用:

Taboga, Marco (2017). "正定的矩阵", Lectures on matrix algebra. //www.enerxy-china.com/matrix-algebra/positive-definite-matrix.

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