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线性代数中的多项式

经过 ,博士学位

本讲座呈现了经常使用的多项式的一些事实 linear algebra.

目录

领域

在下面我们将使用一个字段的概念,这是 以前在讲座中定义 向量 spaces.

我们需要知道的一切都是一个字段是一个配备两个操作的集合 (添加和乘法)满足许多属性。后者 通常的属性是真实的加法和乘法满足 数字,我们在学校学习的数字。重要的是,这些 复杂的加法和乘法也满足属性 数字。因此,这两个都是真实数字 R 和该组复杂数字  $ u {2102} $ , 配备他们通常的操作,是田野。

整数力量

当我们处理一个领域 F, 我们可以采取非负面整数的元素的权力 F 重复乘以它们:如果  $ m $ 是一个积极的整数和  $ zin f $ , then[eq1]

我们通过“公约” that[eq2] 在哪里 1 是该领域的乘法身份。

多项式的定义

我们现在可以定义多项式。

定义 Let F be a field. Let  $ m $ 是一个非负整数。一个功能 $ p:f
ighararrow f $ 被称为程度多项式  $ m $ 如果,如果是,对于任何  $ zin f $ ,[eq3] 在哪里 [eq4] belong to F and $a_{m}
eq 0$.

The elements [eq4] 被称为多项式的系数。

在上述定义中  $ m $ 被认为是非负整数。如果 [eq6] (即,系数全部等于零),然后是值 p 通常设置为  $ -infty $ .

例子 让我们考虑实际数字 R. The function [eq7] 满足,对于任何一个满足 $ zin u {211d} $,[eq8] 是 多项式的程度 $2$.

例子 The function [eq9] 满足,对于任何一个满足 $ zin u {211d} $,[eq10] 是 多项式的程度 0.

领先系数

多项式的最高功率的系数(即,定义 多项式的程度称为前导系数。

例子 领先的系数 polynomial[eq11] $ a_ {3} $ (provided $a_{3}
eq 0$ )。

黑色多项式

主要系数等于的多项式 1 (该领域的乘法身份 F) 被称为一个单体多项式。

例子 The polynomial[eq12] 是 monic.

例子 The polynomial[eq13] 是 不是声号,因为它的主要系数是 $4$.

多项式的根

我们现在介绍根的概念。

定义 Let F be a field and $ p:f
ighararrow f $ 多项式的程度  $ mgeq 1 $ . We say that $ lambda在f $ is a root of p if and only if[eq14]

多项式理论的大部分涉及研究根源及其 properties.

例子 考虑多项式 [eq15] defined by[eq16] 然后,  $ lambda = 1 $ 是多项式的根源 because[eq17]

根和因素

如果我们知道多项式的根源 p, 然后我们可以将它用作因素 p 进入更简单的多项式。

主张 Let F be a field and $ p:f
ighararrow f $ 多项式的程度  $ mgeq 1 $ . Then,  $ lambda $ 是 a root of p 如果,如果是,对于任何  $ zin f $ ,[eq18] 在哪里 $问:f
ighararrow f $ 是一种程度的多项式 $m-1$.

证明

让我们证明“如果”部分,从 the hypothesis that  $ lambda $ is a root of p. 注意,对于任何整数  $ kgeq 1 $ and $ z,lambda在f $, we have[eq19] 定义 [eq20] 笔记 that  $ z ^ {k-1} $ has coefficient $ lambda ^ {0} = 1 $. Thus, [eq21] 是一种程度的多项式 $k-1$ and[eq22] 自从 p is of degree  $ m $ , we have[eq23] 自从  $ lambda $ is a root of p, we have[eq24] 经过 我们从前者中减去后一程 obtain[eq25] 这 polynomial [eq26] 是 of degree $m-1$ 因为最大的力量  $ z $ it contains is $ a_ {m} z ^ {m-1} $ (with $a_{m}
eq 0$ 假设 p is of degree  $ m $ )。 让我们现在证明“只有”部分,从假设开始 [eq27] 经过 setting $ z = lambda $, we obtain[eq28] 作为 a consequence,  $ lambda $ is a root of $ pleft(z
Ight)$.

上限的根数

由于先前的分解定理,我们可以放在上限 多项式的根数。

主张 Let F be a field and $ p:f
ighararrow f $ 多项式的程度  $ mgeq 1 $ . Then, p has at most  $ m $ distinct roots.

证明

证明是诱导。为了 $m=1$, we have[eq29]$a_{1}
eq 0$. Therefore, p has exactly one root [eq30]. 因此,索赔是真的 $m=1$. 现在,让我们假设学位的多项式是如此 $m-1$. 我们需要表明多项式的索赔是正确的 p of degree  $ m $ . If p 至少有一个根  $ lambda $ , then[eq31] 在哪里 $ qleft(z
Ight)$ 是一种程度的多项式 $m-1$. 通过以前的等式的根源 p different from  $ lambda $ 一定必须是一个根源  $ q $ . But  $ q $ has at most $m-1$ 诱导假设的独特根源。所以, p has at most  $ m $ distinct roots.

多项式零度

以前的命题不包括案例 $m=0$, in which[eq32]$a_{0}
eq 0$. 在这种情况下,没有根。

零多项式

没有积极度的多项式可以相同等于零,提供 其潜在的领域拥有足够数量的成员。

主张 Let F be a field and $ p:f
ighararrow f $ 多项式定义 by[eq33] 如果 F has at least $m+1$ members and [eq34] for any  $ zin f $ , then [eq35]

证明

证据是矛盾的。假设 至少一个系数与零不同。然后, p is between 0 and  $ m $ . As a consequence, p can have at most  $ m $ 独特的根。但这与多项式的事实相矛盾 p has at least $m+1$ 独特的根源,因为  $ F $. has at least $m+1$ members and [eq36] for any  $ zin f $ . 因此,多项式的所有系数必须等于零。

要求这个领域 F has at least $m+1$ 成员永远满足该领域 R 实数和领域  $ u {2102} $ 复杂的数字,这有很多成员。

力量的线性独立性

以前的命题可以看出,结果说明多项式 [eq37] are linearly independent: 线性地结合它们的唯一方法以使零多项式作为一个 结果是将其所有系数设置为等于零。

多项式的空间

如果您想知道为什么我们正在谈论多项式使用“传染媒介空间 语言“,特别是线性独立的概念,您可能 想修改讲座 vector spaces coordinate vectors,我们已经讨论了所有多项式的集合 of degree  $ m $ is a vector space.

由于任何多项式的程度  $ m $ has the form[eq38] 这 所有多项式的空间  $ m $ is spanned 经过 the polynomials [eq39]. 我们刚刚证明后者是线性独立的。所以, they are a basis for 正在讨论的空间。

唯一性学位

由于基础的代表性是独一无二的,因此没有其他方式 线性结合基础以获得 $ pleft(z
Ight)$. 换句话说,只有一种方法可以通过服用获得给定的多项式 线性组合的功能  $ z ^ {k} $ . 结果,多项式的程度是独特的。

代数的基本定理

下一个命名称为代数的基本定理。

主张 Let [eq40] 是一种多项式  $ mgeq 1 $ . Then, p 至少有一个根。

证明

这是复杂分析的深刻导致, 我们在没有证据的情况下离开。

换句话说,当我们与复杂数字的领域一起工作时,我们 保证找到给定多项式的根。

复杂多项式的分解

通过组合代数和分解定理的基本定理, 我们获得以下重要命题。

主张 Let [eq41] 是一种多项式  $ mgeq 1 $ . 然后,存在复杂的数字 [eq42] such that[eq43] 为了 any $ zin u {2102} $. The numbers [eq44] 是独一无二的允许 [eq45].

证明

我们首先展示存在的存在 [eq46]. 通过代数(FTA)的基本定理, p 至少有一个根。表示它 $ lambda _ {1} $. 然后,我们可以修改 p as[eq47] 在哪里  $ q $ 是一种程度的多项式 $m-1$. If  $ m-1 = 0 $ , then [eq48] and we are done. If  $ m-1geq 1 $ , FTA保证了根源的存在 $ lambda _ {2} $ of  $ q $ . So we have[eq49] 在哪里  $ r $ 是一种程度的多项式 $m-2$. If  $ m-2 = 0 $ , then [eq50] 我们完成了。否则,我们通过解决其他条款,直到我们 获得所需的结果。我们现在证明了唯一性。通过执行 乘法的乘法 p, we get[eq51] 经过 多项式程度代表的唯一性  $ m $ 就此而言 [eq52], we have that  $ C $ 是独特的。假设有另一个 factorization[eq53] 我们 can write[eq54] 在哪里 我们划分双方  $ C $ (与零不同,因为 p is of degree  $ m $ )。 请注意,后者方程持有任何  $ z $ . When we set $ z = lambda _ {1} $ 在右侧,左侧的一个因素必须相等 零。我们可以假设没有普遍的损失  $ z-mu _ {1} $ (如果不是,我们可以重新订购根源  $ mu _ {j} $ )。 Thus, [eq55]. 然后我们划分一切 [eq56] and obtain[eq57] 经过 我们获得的同样的推理 [eq58], 可能在重新订购根后  $ mu _ {j} $ . 我们以这种方式进行,直到我们证明这一点 [eq59] for $ j = 1,ldots,m $.

分解成线性因素

多项式的程度 1 such as[eq60] 是 通常称为线性因素。

因此,以前的命题表明任何复杂的多项式都可以 写作线性因素的产品。

而且,线性因素暴露了所有根 $ lambda _ {j} $ of the polynomial.

如何引用

请引用:

Taboga, Marco (2017). "线性代数中的多项式", Lectures on matrix algebra. //www.enerxy-china.com/matrix-algebra/polynomials-in-linear-algebra.

这本书

本网站上发现的大多数学习材料现在都以传统的教科书格式提供。