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指数 > Matrix algebra

尼利斯矩阵

经过 ,博士学位

如果通过将其升至足够的方式,则据说一个方形矩阵是尼润的 高整数功率,我们得到零矩阵。

目录

定义

我们从一个定义开始。

定义 Let A be a $ kimes k $ matrix. We say that A 是指数的尼利特 k if and only if[eq1][eq2]为了 [eq3].

The index k 通常被称为矩阵的尼泊比(或尼利率指数)的指标。

空白空间

Let $ s $ be the space of all Kx1 vectors.

Remember that the null space of $ a ^ {j} $ is[eq4]和, 正如我们在讲座中证明的那样 矩阵 powers,越大 矩阵的力量是,其空空间越大。

主张 Let $ s $ be the space of all Kx1 vectors. Let A be a $ kimes k $ matrix. Then, A 是指数的尼利特 k if and only if[eq5][eq6]在哪里 $子集$ 表示严格纳入。

证明

让我们证明“只有”部分,开始 假设 A 是指数的尼利特 k. Then, for any $ sin s $,[eq7]哪个 implies that [eq8]. Moreover, [eq9]哪个 意味着至少一列 $ a ^ {k-1} $ 与零不同。假设它是 $ l $ - column. Let $ e_ {l}以s $ be the vector of the canonical basis 这样 its $ l $ - entry is equal to 1 所有其他条目都等于 0. Then, $A^{k-1}e_{l}
eq 0$, being equal to the $ l $ - column of $ a ^ {k-1} $. As a consequence, [eq10] and [eq11]. 让我们现在证明“如果”部分,从假设开始 [eq12] and [eq11]. For any $ sin s $, we have[eq14]和, in particular,[eq15]为了 每个传统的规范基础 $ e_ {l} $, 这意味着所有列 $ a ^ {k} $ 等于零。因此, $ a ^ {k} = 0 $. Since [eq16], there exists $ sin s $ such that[eq17]哪个 只有至少一列才有可能 $ a ^ {k-1} $ 与零不同。因此, $A^{k-1}
eq 0$.

范围

一个重要的事实是尼利斯矩阵的范围(或列空间) cannot coincide with $ s $.

主张 Let $ s $ be the space of all Kx1 vectors. Let A be a $ kimes k $ 矩阵并表示其范围 [eq18]. Then, A is nilpotent only if[eq19]在哪里 $子集$ 表示严格纳入。

证明

如果 [eq20], then A is full-rank and $ a ^ {k} $ 是全级别(因为 the 两个全级矩阵的产品是全排名)。因此, $A^{k}
eq 0$ for any k.

特征值

以下命题在其方面表征了尼利语矩阵 eigenvalues.

主张 A $ kimes k $ matrix A 如果且仅当所有特征值等于零时,才是尼泊洛特。

证明

让我们证明“只有”部分,开始 从假设中 A 是指数的尼利特 k. Let $ lambda $ be an eigenvalue of A 与相关的特征向量 $x
eq 0$, that is,[eq21]经过 预先乘坐双方 $ a ^ {k-1} $, we get[eq22]自从 $ a ^ {k} = 0 $, 以前的等式 becomes[eq23]$x
eq 0$, which implies $ lambda = 0 $. Since $ lambda $ 是一个任意特征值,所有特征值 A 必须等于零。让我们证明“如果”部分,从 假设所有特征值 A 是零。证据是矛盾的。假设 A has an eigenvalue $lambda 
eq 0$. 然后,我们可以构建一个 Schur decomposition[eq24]在 which $ U $ is a unitary matrix and $ t $ is an 上三角矩阵 such that [eq25]. 换句话说,第一列 $ t $ is[eq26]这 matrix $ q ^ {st} $ 是统一的,因此可逆。结果,我们可以找到矢量 x such that[eq27]在哪里 $ e_ {1} $ 是规范基础的第一个矢量(其第一个条目等于 1 所有其他条目都是零)。 Then,[eq28]哪个 implies $A^{k}
eq 0$, 矛盾。因此, A 不能有任何非零特征值。

In other words, $ kimes k $ 尼利矩阵是那些单个特征值等于零的那些,有 algebraic multiplicity equal to K.

几何多重特征值

我们现在证明了关于几何多重性的简单事实。

主张 Let A be a $ kimes k $ 尼利斯矩阵。然后, A 是非缺陷的(即,特征值的几何多重性 $ lambda = 0 $ is K) if and only if $A=0$.

证明

$ s $ be the space of all Kx1 vectors。让我们从假设开始的情况下证明“才能”部分 A 在不缺陷。然后,特征向量 A 对应于特征值 $ lambda = 0 $ span $ s $. In other words, $ s $ is the eigenspace of $ lambda $. Then, for any $ sin s $, we have[eq29]哪个 implies $A=0$. 让我们现在证明“如果”部分,从假设开始 $A=0$. Then, for any $ sin s $, we have[eq30]哪个 意味着尖锐的空间 $ lambda = 0 $ is $ s $. Hence, A is non-defective.

Since a matrix is diagonalizable 如果 and 只有在不缺陷时,以前的命题才意味着唯一的 nilpotent对角线化矩阵是零矩阵。

最小多项式

Remember that the minimal polynomial p of a matrix A is the lowest-degree monic polynomial such that [eq31].

具有不同特征值的基质的最小多项式 [eq32] 与代数多重 [eq33] can be written as[eq34]在哪里 [eq35] for $ j = 1,ldots,m $.

Thus, when A 是尼泊洛,其最小的多项式 becomes[eq36]在哪里 $1leq 
u leq K$.

主张 Let A be a $ kimes k $ matrix. Then, A 是指数的尼利特 k 如果并且仅当最小的多项式 A is[eq37]

证明

让我们证明“只有”部分,开始 假设 A 是指数的尼利特 k. Then, $ a ^ {k} = 0 $ and $A^{
u }
eq 0$ if $
u <k$. 这意味着指数 $
u $ 最小多项式必须等于 k (如果它更大,最小多项式不是最低度的声音 湮灭多项式)。让 我们现在证明了“如果”部分,从最小的假设开始 polynomial is [eq38]. 然后,由于最小多项式湮灭, [eq39]而且,[eq9]否则 p 不会很少。

哇时刻

随着以前的命题,虽然非常简单直观,但我们是 at a wow moment!

我们以前定义的三种不同的概念结果是一样的 当我们将注意力局限于尼利斯矩阵:

  1. 尼利率指数;

  2. 最小多项式的线性因子的指数;

  3. the index of the matrix (即,空间停止生长的最小功率)。

我们强烈建议修改 在最小的讲座 polynomial 同时考虑到以前的主张。

尼利诺运营商

尼氏矩阵的概念可以概括为尼利者的概念 operator.

定义 Let $ s $ 是矢量空间。让 $ f:s
ighararow s $ be a linear operator。我们说 that $ F $. 是指数的尼利特 k 如果,如果是,对于任何 $ sin s $,[eq41]和 存在非零 $ sin s $ such that[eq42]

换句话说,一个线性运算符 $ F $. 是指数的尼利特 k if and only if[eq43][eq44]在哪里 $子集$ 表示严格纳入和 $ qtr {rm} {null} $ denotes the 空值 space (或内核)的运营商。

When $ s $ is finite-dimensional, 我们可以像往常一样代表:

通过上面的命题在空白处, $ F $. 如果且才有才能唯一的映射是唯一的 [eq48] 是任何基础的尼恐子矩阵 $ b $.

我们以简单但有用的事实结束了本节。

主张 Let $ s $ 是矢量空间和 $ f:s
ighararow s $ 一个尼利者的运营商。如果 [eq49], then $ F $. is the zero mapping.

证明

选择一个基础 $ b $, 这是由单个载体组成的 [eq50]. 因此,操作员的矩阵 [eq51] 是一个标量。假设操作员是索引的零售 k. Then, the condition[eq52]能够 be true only if [eq53].

应用于广义的eIgenspaces

让我们再考虑空间 $ s $ of all Kx1 vectors.

Let A be a $ kimes k $ matrix, $ lambda $ 其中一个特征值, k 严格的积极整数和 $ n_ {lambda,k} $ 与之相关的概括的eIgenspace $ lambda $:[eq54]

我们可以考虑受限制的线性运算符 [eq55] defined, for any [eq56], by[eq57]

对于定义有意义,我们需要检查一下 range of $ f_ {lambda,k} $ is included in $ n_ {lambda,k} $, that is, [eq58] whenever [eq56].

But [eq56] implies that[eq61]

如果我们乘以上一条等的两侧 [eq62], we get[eq63]哪个 implies that [eq64]. Thus, $ f_ {lambda,k} $ 确实是运营商,因为我们可以考虑其Codomain等于其 domain.

Moreover, $ f_ {lambda,k} $ 是一个尼利普特运算符:通过域的定义 $ n_ {lambda,k} $, we have[eq65]为了 every [eq56]. Note that $ f_ {lambda,k} $ 不一定是指数的幂等 k, 因为可能有一个较小的整数 $ j $ such that[eq67]为了 every $ sin s $.

如何引用

请引用:

Taboga, Marco (2017). "尼利斯矩阵", Lectures on matrix algebra. //www.enerxy-china.com/matrix-algebra/nilpotent-matrix.

这本书

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