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指数 > Matrix algebra

标量乘法乘法

经过 ,博士学位

这段讲义解释了如何乘以一个 matrix 经过 a scalar.

目录

快三一定牛

请记住,标量只是一个数字,即矩阵 dimension $ 1 $ 1 $.

快三一定牛 Let A be a $ kimes l $ matrix and $ lpha $ 是一个标量。产品的产品 A by $ lpha $ is another $ kimes l $ matrix, denoted by $ lpha a $, such that its $ left(k,l
Ight)$ - 条目等于产品 $ lpha $ by the $ left(k,l
Ight)$ - entry of A, that is[eq1]为了 $ 1Leq kleq k $ and $ 1Leq Lleq L $.

The product $ a lpha $ 可以以相同的方式快三一定牛。但是,产品的顺序确实如此 不是很重要,因为 $ aa_ {kl} = a_ {kl} a $. Therefore, $ a lpha $ 可以被认为是一样的 $ lpha a $.

例子 Let $ lpha = 2 $ and define the $ 2倍3美元 matrix[eq2]这 product $ lpha a $ is[eq3]

特性

基本上通过乘法享有的所有属性是 通过标量乘法乘法继承。

命题(协会 property) 标量乘法乘法是关联的,即 is,[eq4]为了 any matrix A and any scalars $ lpha $ and $ eta $.

证明

A be a $ kimes l $ matrix. We know that $ eta a $ is another $ kimes l $ 矩阵,使其 $ left(k,l
Ight)$ - 条目等于产品 $ eta $ by the $ left(k,l
Ight)$ - entry of A, that is,[eq5]此外, [eq6] is a $ kimes l $ 矩阵,使其 $ left(k,l
Ight)$ - 条目等于产品 $ lpha $ by the $ left(k,l
Ight)$ - entry of $ eta a $, that is,[eq7]作为 结果,我们有 that[eq8]因此, 我们证明了 $ left(k,l
Ight)$ - entry of [eq9] is equal to the $ left(k,l
Ight)$ - entry of [eq10]. 因为每一个都是如此 k and $ l $, 声明是证明的。

命题(分配物业 1) 通过标量乘法乘法是分布的 矩阵 addition, 那 is,[eq11]为了 any scalar $ lpha $ and any matrices A and $ b $ 这样他们的加法就会有意义地快三一定牛。

证明

A and $ b $ be $ kimes l $ 矩阵。通过矩阵的快三一定牛 $ a + b $ is another $ kimes l $ 矩阵,使其 $ left(k,l
Ight)$ - 条目等于 $ left(k,l
Ight)$ - entry of A and the $ left(k,l
Ight)$ - entry of $ b $, that is,[eq12]此外, [eq13] is a $ kimes l $ 矩阵,使其 $ left(k,l
Ight)$ - 条目等于产品 $ lpha $ by the $ left(k,l
Ight)$ - entry of $ a + b $, that is,[eq14]作为 结果,我们有 that[eq15]因此, 我们证明了 $ left(k,l
Ight)$ - entry of [eq16] is equal to the $ left(k,l
Ight)$ - entry of $ lpha a + lpha b $. 因为每一个都是如此 k and $ l $, 声明是证明的。

命题(分配物业 2) 通过标量乘法乘法是相对于的分布 添加标量 is,[eq17]为了 any scalars $ lpha $ and $ eta $ and any matrix A.

证明

A be a $ kimes l $ matrix. We know that [eq18] is another $ kimes l $ 矩阵,使其 $ left(k,l
Ight)$ - 条目等于产品 $ lpha + eta $ by the $ left(k,l
Ight)$ - entry of A, that is,[eq19]作为 结果,我们有 that[eq20]因此, 我们证明了 $ left(k,l
Ight)$ - entry of [eq21] is equal to the $ left(k,l
Ight)$ - entry of $ lpha a + eta a $. 因为每一个都是如此 k and $ l $, 声明是证明的。

解决练习

下面可以找到一些练习解释的解决方案。

练习1

Let A be the following 3美元3美元 matrix[eq22]$ lpha = 3 $. Compute the product $ lpha a $.

解决方案

产品 $ lpha a $ is another 3美元3美元 矩阵使每个 $ 1Leq kleq 3 $ and $ 1Leq Lleq 3 $, the $ left(k,l
Ight)$ - element of $ lpha a $ 等于产品之间的产品 $ lpha $ and the $ left(k,l
Ight)$ - element of A: [eq23]

练习2

Let A be a $ 1 2美元 row vector defined by[eq24]$ b $ a $ 2 $ 2 $ matrix defined by[eq25]计算 the product[eq26]在哪里 $ a ^ {op} $ 表示转置 A.

解决方案

转置 A is[eq27]这 product between A and its transpose is[eq28]哪个 是一个标量。因此,我们有 that[eq29]

练习3.

Define two $ 1 2美元 row vectors:[eq30]找 a scalar $ lpha $ such that[eq31]在哪里[eq32]

解决方案

通过应用快三一定牛 乘法乘以标量,我们 obtain[eq33]经过 应用矩阵的快三一定牛加入,我们 get[eq34]所以, the equation[eq35]是 满足于 if[eq36]哪个 反过来很满意 if[eq37]但 this implies[eq38]

如何引用

请引用:

Taboga, Marco (2017). "标量乘法乘法", Lectures on matrix algebra. //www.enerxy-china.com/matrix-algebra/multiplication-of-a-matrix-by-a-scalar.

这本书

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