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指数 > Matrix algebra

矩阵功率

经过 ,博士学位

该讲义呈现了一些有用的矩阵力特性。

目录

整数矩阵为权力

我们可以采用方矩阵的非负整数功率 A 反复乘以 A by itself.

If $ m $ 是一个积极的整数和 A is a $ kimes k $ matrix, then[eq1]

我们通过“公约” that[eq2]在哪里 I is the $ kimes k $ identity matrix.

零空格

Let A be a $ kimes k $ matrix and let $ s $ be the space of all Kx1 column vectors.

Remember that the null space of A is the subspace[eq3]

换句话说,空的空间由所有向量形成 $ s $ 通过映射到ZEROVE向量通过线性变换 A.

功率越大,空白空间越大

这是第一个有趣的结果:矩阵功率越大,更大 the null space.

主张 Let A be a $ kimes k $ 矩阵。然后,电力的空白空间 A satisfy[eq4]为了 任何非负整数 $ m $.

证明

自从 $ a ^ {0} = i $ and 0 是唯一的矢量映射到零矢量的身份转换, we have[eq5]为了 任何非负整数 $ m $, let [eq6]. Then, [eq7]我们 可以乘以双方 A, so as to get[eq8]哪个 implies that [eq9]. 因此,所有成员 [eq10] are also members of [eq11]. In other words, [eq10] is included in [eq13].

如果空白空间停止生长,那么他们永远不会恢复

当我们采取越来越大的矩阵力量时,如果在某个点处 NULL空间的生长停止,然后它永远停止。

主张 Let A be a $ kimes k $ 矩阵。如果存在正整数 $ m $ such that[eq14]然后[eq15]为了 any integer $ jgeq 1 $.

证明

我们只需要证明这一点 [eq16] implies [eq17] 因为那么我们可以生成一系列相位链以获得 [eq18] for any $ j $. We already know that[eq19]我们 需要证明包含在另一个方向。认为 [eq20]. Then,[eq21]或者, equivalently,[eq22]因此, we have [eq23]和, 通过假设 [eq24], we also have [eq25]这 latter fact means that[eq26]或者[eq27]在 other words,[eq28]因此, all the members of [eq29] are also members of [eq30]. Hence, [eq31] is included in [eq30], 这是我们所需要的证明。

稳定空间

当我们采取更大的力量时,空的空间不会无限期地增长,但它们 最终稳定。

主张 Let A be a $ kimes k $ matrix. Then,[eq33]

证明

证据是矛盾的。认为 that[eq34]经过 以前的命题这意味着 that[eq35]为了 all integers $ mleq k-1 $ (否则我们会有 [eq36])。 Therefore,[eq37]在哪里 $子集$ 表示严格包含(即,每个空隙至少有一个成员 而不是紧接在它之前的空白区域)。由于空白是 具有至少一个成员的子空间与至少具有一个成员 额外的维度。结果,维度的维度 [eq38] 必须至少等于 $K+1$. 这是不可能的,因为 [eq39] 是空间的子空间 Kx1 vectors (hence [eq40] can have at most K 方面)。因此,初始假设使我们引起了矛盾。作为一个 结果,我们必须拥有 [eq41]

通过结合前两个命题,我们 obtain[eq42]为了 any integer $ jgeq 1 $.

请注意,最后一个命题并不意味着空的空间稳定 exactly at [eq43], 因为它可能会很好 that[eq44]为了 $m<K-1$. 但是,命题保证稳定点不超出 [eq45].

列空间

Let $ s $ be the space of all Kx1 列向量。请记住,a的列空间 $ kimes k $ matrix A, 这与...一致 range of the linear transformation 由矩阵定义, is[eq46]

By the rank-nullity theorem,对于任何矩阵功率 $ a ^ {m} $, we have[eq47]在哪里 [eq48] and [eq49] 分别表示列空间和空白区域的尺寸。

我们已经证明了这一点 [eq50] 随着我们增加力量的增加 $ m $, up to [eq51]. As a consequence, [eq52] 必须随着我们的增加而减少 $ m $, up to [eq53].

换句话说,列空间的行为与null的行为相反 空间。下一节更详细地讨论这一点。

电源越大,列空间越小

矩阵功率越大,其列空间越小。

主张 Let $ s $ be the space of all Kx1 column vectors. Let A be a $ kimes k $ 矩阵。然后,电力的列空间 A satisfy[eq54]为了 任何非负整数 $ m $.

证明

自从 $ a ^ {0} = i $, $ s = a ^ {0} $ for any $ sin s $. Therefore,[eq55]为了 任何非负整数 $ m $, let [eq56]. 然后,通过列空间的定义,存在 $锡 such that [eq57]哪个 可以等效写入 as[eq58]哪个 implies that [eq59]. 因此,所有成员 [eq60] are also members of [eq61]. In other words, [eq62] includes [eq60].

如果列空间停止缩小,则永远不会恢复

当我们采取越来越大的矩阵力量时,如果在某个点处 列空间停止缩小,然后它们再也不会缩小了。

主张 Let A be a $ kimes k $ 矩阵。如果存在正整数 $ m $ such that[eq64]然后[eq65]为了 any integer $ jgeq 1 $.

证明

我们只需要证明这一点 [eq66] implies [eq67] 因为那么我们可以生成一系列相位链以获得 [eq68] for any $ j $. We already know that[eq69]我们 需要证明包含在另一个方向。让 $ s $ be the space of all Kx1 列向量。采取任何 $ sin s $ and define [eq70]经过 definition, [eq71]. The hypothesis that [eq72] implies that [eq73]. Thus, there exists $锡 such that[eq74]或者[eq75]经过 将(1)和(2)放在一起,我们 get[eq76]因此, 我们刚刚证明,对于任何人来说 $ sin s $, there exists $锡 这样(3)持有。现在假设 [eq73]. Then, there exists $ sin s $ such that[eq78]或者 [eq79]经过 (3), there exists $锡, such that[eq80]在 other words, [eq81]. 因此,所有成员 [eq82] are also members of [eq83]. In other words, [eq84]

柱状空间的稳定

当我们采取更大的权力时,列空间不会无限期地生长,但它们 最终稳定。

主张 Let A be a $ kimes k $ matrix. Then,[eq85]

证明

证据是矛盾的。认为 that[eq86]经过 以前的命题这意味着 that[eq87]为了 all integers $ mleq k-1 $ (否则我们会有 [eq88])。 Therefore,[eq89]在哪里 $ s $ is the space of all Kx1 column vectors and $ supset $ 表示严格纳入。换句话说,每个列空间至少有一个 比立即在它之前的列空间更少的成员。柱子以来 空间是子空间,具有至少一个成员与具有相同的成员 至少一个较少的维度。自尺寸 $ s $ is K, the dimension of [eq90] must be less that $-1$. 这是不可能的,因为维度不能是负数。因此, 初步假设使我们成为一个矛盾。结果,我们 must have [eq91]

通过结合前两个命题,我们 obtain[eq92]为了 any integer $ jgeq 1 $.

类似于NULL空间的评论是按顺序的:最后一个 命题并不意味着柱子空间完全稳定 [eq93], 因为它可能会很好 that[eq94]为了 $m<K-1$. 但是,命题保证稳定点不超出 [eq95].

空值和列空间在同一点稳定下来

通过汇集秩 - 无效定理 [eq96] 和上面的命题,我们看到了,当我们增加力量时 $ m $ 通过一个单元,然后有两个相互独家的可能性:

  1. null空间的尺寸 [eq13] 至少一个单位和行空间的维度增加 [eq98] 减少相同的数量;

  2. the dimensions of [eq13] and [EQ100] 当我们进一步增加时,他们保持不变(并且他们永远不会再改变 $ m $)。

特别是,列和空空间必须在同一点稳定下来: 存在一个唯一的整数 $ m $ such that[eq65][eq15]为了 any integer $ jgeq 1 $.

如何引用

请引用:

Taboga, Marco (2017). "矩阵功率", Lectures on matrix algebra. //www.enerxy-china.com/matrix-algebra/matrix-power.

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