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线性地图的矩阵

经过 ,博士学位

两个有限维矢量之间的线性图(或线性变换) 空格可以始终由矩阵表示,称为线性矩阵 地图。如果我们将映射应用于第一个矢量空间的元素,那么我们 在第二个空间中获取变换元素。同样,当我们繁殖时 通过起始元素的坐标向量的地图矩阵,我们 获取变换元素的坐标向量。

目录

介绍

为了充分了解这段讲座,我们需要记住两件事。

First, given two 向量 spaces $ s $ and $ t $, a function $ f:s
ighararow t $ is said to be a linear map 如果 and only if[eq1]为了 any two vectors $ s_ {1},s_ {2}以s $ and any two scalars $ lpha _ {1} $ and $ lpha _ {2} $.

Second, given a basis [eq2] for $ s $ and a vector $ sin s $, the coordinate vector of $ s $ 是包含独特系数集的矢量 [eq3] 出现在代表中 $ s $ as a linear combination of the basis:[eq4]

我们要写坐标向量 $ s $ as[eq5]

注意,坐标向量的概念仅在基础上定义很好 of $ s $ 有一个有限数量的元素,即如果维度的维度 $ s $ 是有限的。我们总是假设这就是这种情况。

定义

我们现在准备定义线性图的矩阵。

定义 Let $ s $ and $ t $ 是两个矢量空间。让 [eq6] be a basis for $ s $ and [eq7] a basis for $ t $. For any $ sin s $ and any $ tin t $, denote by [eq8] and [eq9] their Kx1 and $ limes 1 $ 与两个基地的坐标向量 $ s $ and $ t $ respectively. Let $ f:s
ighararow t $ be a linear map. An $ limes k $ matrix [eq10] such that, for any $ sin s $,[eq11]是 称为线性图的矩阵 $ F $. 关于基础 $ b $ and $ C $.

虽然它应该已经清楚了,但我们强调了转变的矢量 $ flutft(s
Ight)$ belong to $ t $ 及其坐标向量 [eq12] are $ limes 1 $ vectors. Moreover, [eq13] is the 矩阵 product of [eq14] and [eq15].

例子 Consider the space $ p $. 一阶多项式的 form[eq16]和 the space $ q $ 二阶多项式的 form[eq17]为了 简洁,我们往往会表示多项式 $ pleft(z
Ight)$ by p, 省略论证 $ z $. We already know that a space of 多项式是矢量空间。而且,如果我们定义 [eq18]然后 [eq19] is a basis for $ p $. and [eq20] is a basis for $ q $. 坐标向量 p and $ q $ 以上这两个基础 are[eq21]$ f:p
Igrarrow Q $ 是转换任何多项式的地图 $ pleft(z
Ight)$ 进入另一个多项式等于 [eq22], that is, [eq23]拿 two scalars a_1 and a_2, the polynomial $ PIN P $ 以上定义和另一种多项式 $ pi以p $ defined as[eq24]然后,[eq25]作为 a consequence $ F $. 是一个线性映射。的效果 $ F $. 在坐标上是为了映射 vectors[eq26]进入 vectors[eq27]这 can be obtained by defining[eq28]和 执行矩阵 multiplication[eq29]所以, [eq14] 是线性图的矩阵 $ F $. 尊重两个基地 $ b $ and $ C $.

如果才能且仅当它转换时,地图是线性的 通过矩阵坐标

我们仍然必须确定所有线性贴图是否具有相关矩阵。 事实证明,如果它有一个,则映射是线性的。

主张 Let $ s $ and $ t $ be two linear spaces。让 [eq31] be a basis for $ s $ and [eq32] a basis for $ t $. For any $ sin s $ and any $ tin t $, denote by [eq8] and [eq9] their Kx1 and $ limes 1 $ 与两个基地的坐标向量 $ s $ and $ t $ respectively. Let $ f:s
ighararow t $ be a map. Then, $ F $. 如果且仅在存在的情况下,则是一个线性映射 $ limes k $ matrix [eq35] such that, for any $ sin s $,[eq11]

证明

假设这样的矩阵 [eq14] 存在。然后,对于任何两个向量 $ s_ {1},s_ {2}以s $ and any two scalars $ lpha _ {1} $ and $ lpha _ {2} $, we have that [eq38]在哪里: in step $ rame {a} $ 我们使用的是 addition and scalar 互动向量的乘法;在步骤中 $ rame {b} $ 我们应用了矩阵乘法的分配属性。我们有 just proved that if [eq14] 存在,然后映射 $ F $. 是线性的。我们现在需要证明匡威声明(仅当“部分)”。 Let $ F $. 是线性的。任何元素 $ b_ {k} $ of the basis $ b $ is transformed by $ F $. into 可以写成基础的线性组合的矢量 $ C $ as follows:[eq40]在哪里 the scalars [eq41] are the $ l $ 线性组合的系数。注意系数 $ f_ {l,k} $ are unique by the uniqueness 在基础上的表现。表示 F the $ limes k $ 由所有系数形成的矩阵 $ f_ {l,k} $, 以这样的方式,即行和列 F (indexed by $ l $ and k 分别对应于基础的不同元素 $ t $ and $ s $ 分别。现在,采取任何 $ sin s $ 及其相关的坐标 vector[eq42]哪个 means that $ s $ 可以写作作为线性组合的基础 $ s $ as follows:[eq43]自从 $ F $. 是一个线性地图,我们有 that[eq44]因此, 坐标向量 $ flutft(s
Ight)$ is[eq45]我们 刚刚证明如果 $ F $. 是一个线性图,然后存在地图的矩阵 [eq46]. 这展示了“只有”部分命题并结束了 proof.

我们强烈推荐阅读以前的证据,因为它是一种建设性 证明,显示如何实际构建矩阵 [eq14] by using the bases $ b $ and $ C $. 经过证明后,我们可以看到矩阵 is[eq48]

In other words, the k - column of [eq14] 是转换的坐标矢量 [eq50] of the k - vector of the basis $ b $.

后者是值得记忆的事实。

线性图矩阵矩阵的唯一性 to two given bases

一个重要的唯一性结果如下。

主张 相对于两个给定基座的线性图的矩阵是独特的。

证明

我们已经展示了唯一性 当我们指出矩阵的条目时,上面的等价证明 [eq14] 在基础上,是唯一的唯一性的独特性。

解决练习

下面可以找到一些练习解释的解决方案。

练习1

Let $ p $. 是二阶的空间 polynomials[eq52]和 basis [eq53]. Let $ q $ 是四阶的空间 polynomials[eq54]和 basis [eq55]. 定义线性映射 $ f:p
Igrarrow Q $ 转变任何多项式 $ pleft(z
Ight)$ 进入另一个多项式等于 [eq56]

Find the matrix [eq14].

解决方案

多项式的坐标向量 $ pleft(z
Ight)$ is[eq58]这 polynomial p is transformed as follows:[eq59]因此, 变换的坐标向量 is[eq60]在哪里 [eq61]是 线性图的矩阵 $ F $. 关于两个基地。

如何引用

请引用:

Taboga, Marco (2017). "线性地图的矩阵", Lectures on matrix algebra. //www.enerxy-china.com/matrix-algebra/matrix-of-a-linear-map.

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