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矩阵反转lemmas.

经过 ,博士学位

矩阵反转LEMMA是非常有用的公式,允许 有效地计算矩阵中的简单变化会影响其 inverse.

目录

排名一台更新

可以在矩阵上执行的最简单更改之一是所谓的 rank one update.

定义 Let A be a $ kimes k $ matrix and $ U $ and $ v $ two Kx1 列向量。然后,这 transformation[eq1]是 称为排名第一 A.

改造称为排名的原因是 rank 的 the $ kimes k $ matrix $ uv ^ {op} $ is equal to 1 (因为一个矢量, $ U $, spans all the columns of $ uv ^ {op} $)。

到身份矩阵

我们出现的第一个反转引理是为身份排名 matrices.

主张 Let I be the $ kimes k $ identity matrix and $ U $ and $ v $ two Kx1 column vectors. The matrix[eq2]是 如果只有 if[eq3]什么时候 它是可逆的,它的反向 is[eq4]

证明

让我们首先证明“如果”部分。这 assumption [eq3]确保 that the ratio[eq6]和 the proposed inverse[eq7]是 定义。此外,后者满足了逆的定义(a matrix multiplied by its 反向给出身份 matrix):[eq8]让 我们现在证明了“只有”部分。认为 [eq9]或者[eq10]这 后一个平等意味着 $u
eq 0$. Post-multiply the matrix[eq11]经过 $ U $:[eq12]因此, the linear 列的组合 of $ i + uv ^ {op} $ 从非零矢量采取系数 $ U $ 给出零载体。结果,列 $ i + uv ^ {op} $ are not linearly independent,矩阵不是 full-rank,因此不是 invertible.

注意尺寸 矩阵 products involved 在这种反演中:

谢尔曼 - 莫里森公式

谢尔曼莫里森公式,在下一个命题中显示,概括了 以前的反演引理通过考虑对通用的一个更新排名 invertible matrix A (而不是仅考虑对身份矩阵的一个更新)。

主张 Let A be a $ kimes k $ 可逆矩阵 $ U $ and $ v $ two Kx1 列向量。排名第一 update[eq15]是 如果只有 if[eq16]什么时候 它是可逆的,它的反向 is[eq17]

证明

笔记 that[eq18]在 其他单词,我们可以编写一个级别的一个更新 A as the product of A 并且一个roule一个更新到身份矩阵(使用该更新 column vectors $ a ^ { -  1} U $ and $ v $)。 因此,通过标准结果 the inverse of a product,我们有那个 [eq19]是 如果且仅当产品的两个因素时,那么 is,[eq20][eq21]是 invertible. But A 通过假设是可逆的,以及排名的条件 识别矩阵的一个更新已派生在上一个 命题:如果只有,秩一更新是可逆的 if[eq22]什么时候 它是可逆的,它的反向 is[eq23]作为 a consequence,[eq24]

谢尔曼 - 莫里森公式非常有用,不仅是因为排名一级更新 在矩阵代数中的许多定理中被发现,但也是因为它可以是一个 计算逆的计算方式 [eq25] when $ a ^ { -  1} $ 已经计算过。所需的算术运算数量 compute [eq26] 从头开始成比例 $ k ^ {3} $, 虽然更新逆的操作数量 谢尔曼 - 莫里森公式成比例 $ k ^ {2} $. 即使在后一种情况下,比例常数高于 the former, when K 足够大,更新的计算成本远低得多。

伍德伯里矩阵身份

另一个有用的矩阵反转引理以伍德伯里矩阵的名义 身份,其在以下主张中呈现。

主张 Let A be a $ kimes k $ invertible matrix, $ U $ and V two $ kimes l $ matrices, and $ C $ an $ limes l $ 可逆矩阵。如果 [eq27]是 invertible, then [eq28]是 可逆性和逆 is[eq29]

证明

条件 that[eq30]存在 确保所提出的逆定义。我们需要检查一下 提出的逆满足反向的定义(矩阵 multiplied by 它的 inverse gives the identity matrix):[eq31]

Note that when $L=1$ and $C=1$, 伍德伯里矩阵标识与谢尔曼莫里森公式一致。 因此,后者是前者的特殊情况。

这种反演引理的原因值得知道与我们相似 已经解释了谢尔曼莫里森公式:它通常用于矩阵 代数,它可以节省计算 $ a ^ { -  1} $ 已知(和 $ l $ 明显小于 K)。

如何引用

请引用:

Taboga, Marco (2017). "矩阵反转lemmas.", Lectures on matrix algebra. //www.enerxy-china.com/matrix-algebra/matrix-inversion-lemmas.

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