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线性跨度

经过 ,博士学位

一组矢量的跨度,也称为线性跨度,是 linear space 由所有载体形成 can be written as linear combinations 属于给定集合的矢量。

目录

定义

让我们从一个正式的跨度定义开始。

定义 Let $ s $ 是一个线性空间。让 [eq1] be n vectors. The 线性跨度 of [eq2], denoted by[eq3] 是所有线性组合的集 [eq4]那 可以通过任意选择来获得 n scalars $ lpha _ {1} $, ...,$ lpha _ {n} $.

线性跨度的一个非常简单的例子。

例子 Let $ x_ {1} $ and $ x_ {2} $ be $ 2倍1美元 column vectors defined as follows:[eq5]x 是一种线性组合 $ x_ {1} $ and $ x_ {2} $ with coefficients $ lpha _ {1} $ and $ lpha _ {2} $. Then,[eq6]因此, 线性跨度是所有向量的集合 x that can be written as[eq7]在哪里 $ lpha _ {1} $ and $ lpha _ {2} $ 是两个任意的标量。

线性跨度是线性空间

以下主张虽然是基本的,但非常重要。

主张 一组矢量的线性跨度是线性空间。

证明

$ s $ 是线性跨度 n vectors [eq8]. Then, $ s $ 是所有向量的集合 x 可以表示为线性的 combinations[eq4]拿 two vectors $ s_ {1} $ and $ s_ {2} $ belonging to $ s $. 然后,存在系数 [eq10] and [eq11] such that[eq12]这 span $ s $ 如果只有,对于任何两个系数,才是一个线性空间 $ eta _ {1} $ and $ eta _ {2} $, the linear combination[eq13]还 belongs to $ s $. But,[eq14]因此, 线性组合 [eq15]能够 本身表示为载体的线性组合 [eq16] with coefficients [eq17], ..., [eq18]. 结果,它属于跨度 $ s $. 总之,我们证明了属于的任何线性组合 the span $ s $ 也属于跨度 $ s $. This means that $ s $ is a linear space.

解决练习

下面可以找到一些练习解释的解决方案。

练习1

Define the following $ 2倍1美元 vectors:[eq19]

Does $ x_ {3} $ 属于线性跨度 $ x_ {1} $ and $ x_ {2} $?

解决方案

线性跨度 $ x_ {1} $ and $ x_ {2} $ 是所有向量的集合 $ s $ 可以写成线性组合 $ x_ {1} $ and $ x_ {2} $ 用标量系数 $ lpha _ {1} $ and $ lpha _ {2} $:[eq20]在 other words, [eq21] 包含所有标量倍数 vector[eq22]$ x_ {3} $ 不是标量倍数 $ x_ {1} $. Therefore, $ x_ {3} $ does not belong to [eq21].

练习2

Does the zero vector[eq24]属于 到了向量的跨度 $ x_ {1} $ and $ x_ {3} $ defined above?

解决方案

我们证明了跨度是线性的 空间,零矢量始终属于线性空间(由非常 线性空间的定义)。

如何引用

请引用:

Taboga, Marco (2017). "线性跨度", Lectures on matrix algebra. //www.enerxy-china.com/matrix-algebra/linear-span.

这本书

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