搜索Statlect上的概率和统计信息
统计章程
指数 > Matrix algebra

线性独立性

经过 ,博士学位

线性独立是线性代数中的中央概念。两个或更多 如果没有写入,则据说载体是线性的独立性 a 线性 combination of the others. On 相反,如果其中至少一个可以写成线性组合 其他人,他们据说他们是线性依赖的。

在这次讲座的剩余部分中,我们将给出线性的正式定义 独立性,我们将解释其含义,我们将提供一些例子。

目录

线性依赖的载体

让我们从正式定义线性依赖。

定义 Let $ s $ be a 线性 space。一些矢量图 [eq1] are said to be 线性依赖 如果并且只有存在 n scalars [eq2] such that[eq3]和 at least one of the n scalars [eq4] 与零不同。

至少一个标量与零不同的要求是 fundamental.

首先,没有这个要求,定义将是微不足道的:我们 could always choose[eq5]和 obtain as a result[eq6]为了 any set of n vectors.

其次,如果线性组合的一个系数是不同的 从零(假设,没有普及,它是 $ lpha _ {1} $), then we can write[eq7]那 is, $ x_ {1} $ 是矢量的线性组合 [eq8] with coefficients [eq9]. 这一事实激励了我们所提供的线性依赖的非正式定义 在上面的简介中:如果at at的两个或更多个矢量是线性的依赖性 其中至少一个可以写成其他人的线性组合。

The assumption $lpha _{1}
eq 0$ 没有普遍的损失,因为我们可以随时改变 向量并将第一位置分配给与非零相对应的向量 系数(假设存在至少一个这样的载体)。

例子 Let $ x_ {1} $ and $ x_ {2} $ be $ 2倍1美元 column vectors defined as follows.[eq10]这 linear combination[eq11]给 结果为零向量 because[eq12]作为 a consequence, $ x_ {1} $ and $ x_ {2} $ 是线性依赖的。

线性独立向量

它现在直截了当地给出线性独立性的定义。

定义 Let $ s $ 是一个线性空间。一些矢量图 [eq13] are said to be 线性独立 如果并且只有他们是 不是线性依赖。

它从这个定义中遵循,在线性的情况下 independence,[eq14]暗示[eq5]

换句话说,当向量线性独立时,它们唯一的线性 给出零向量的组合,其所有系数相等 to zero.

例子 Let $ x_ {1} $ and $ x_ {2} $ be $ 2倍1美元 列向量定义为 follows.[eq16]考虑 这两个载体的线性组合具有系数 $ lpha _ {1} $ and $ lpha _ {2} $:[eq17]这 is equal to[eq18]所以, we have that[eq19]如果 and only if[eq20]那 is, if and only if [eq21]. 结果,两种向量是线性的独立性。

解决练习

下面可以找到一些练习解释的解决方案。

练习1

Define the following $ 2倍1美元 vectors:[eq22]$ a_ {1} $ and $ a_ {2} $ 线性独立?

解决方案

考虑线性组合 coefficients $ lpha _ {1} $ and $ lpha _ {2} $:[eq23]这样的 线性组合给出,结果给出零载体,如果且仅当 [eq24]那 是,如果且仅当两个系数 $ lpha _ {1} $ and $ lpha _ {2} $ 解决线性系统 equations[eq25]这 系统可以如下解决。从第二方程,我们 obtain[eq26]哪个, 在第一方程式中取代, gives[eq27]因此, $ lpha _ {2} = 0 $ and $ lpha _ {1} = 0 $. 因此,唯一的线性组合 $ a_ {1} $ and $ a_ {2} $ 作为结果给出零向量,所有系数都等于零。这 means that $ a_ {1} $ and $ a_ {2} $ 是线性独立的。

练习2

Let $ a_ {1} $, $ a_ {2} $ and $ a_ {3} $ be $ 3 $ 1 $ vectors defined as follows:[eq28]为什么 这些矢量是线性依赖吗?

解决方案

请注意矢量 $ a_ {3} $ 是一个标量倍数 $ a_ {2} $:[eq29]或者[eq30]作为 后果,线性组合 $ a_ {1} $, $ a_ {2} $ and $ a_ {3} $, with coefficients $ lpha _ {1} = 0 $, $ lpha _ {2} = 2 $ and $ lpha _ {3} =  -  1 $, gives as a result[eq31]因此, 存在三个向量的线性组合,使得 组合的系数并不等于零,但结果 该组合等于零载体。这意味着三个向量 是线性依赖的。

练习3.

Let x 是一个实数。定义以下内容 $ 2倍1美元 vectors:[eq32]$ a_ {1} $ and $ a_ {2} $ 线性独立?

解决方案

采取线性组合 coefficients $ lpha _ {1} $ and $ lpha _ {2} $:[eq33]这 线性组合等于零向量,如果且仅当 [eq34]那 是,如果且仅当两个系数 $ lpha _ {1} $ and $ lpha _ {2} $ 解决线性系统 equations[eq35]A 对该系统的解决方案可以如下找到。我们减去了第二个 从第一和地区的等式 obtain[eq36]或者[eq37]经过 替换到第二方程,我们 get[eq38]或者[eq39]现在, 有两种可能的情况。如果 $x
eq 0$ (first case), then $ lpha _ {2} = 0 $ 而且,因此, $ lpha _ {1} = 0 $. 因此,在这种情况下,唯一的线性组合 $ a_ {1} $ and $ a_ {2} $ 作为结果给出零向量,所有系数都等于零。这 means that $ a_ {1} $ and $ a_ {2} $ 是线性独立的。如果代替 $x=0$ (第二个案例),那么任何价值 $ lpha _ {2} $ will satisfy the equation[eq39]选择 与零不同的数字,并表示 $ s $. 然后,将通过线性方程系统解决 $ lpha _ {2} = s $ and $ lpha _ {1} =  -  2s $. 因此,在这种情况下,存在至少一个的无限线性组合 系数与零不同,结果给出零载体(a 每种选择的不同组合 $ s $)。 This means that $ a_ {1} $ and $ a_ {2} $ 是线性依赖的。

如何引用

请引用:

Taboga, Marco (2017). "线性独立性", Lectures on matrix algebra. //www.enerxy-china.com/matrix-algebra/linear-independence.

这本书

本网站上发现的大多数学习材料现在都以传统的教科书格式提供。