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指数 > Matrix algebra

矩阵

经过 ,博士学位

逆的概念 matrix is a 数字互惠概念的多维概念:

目录

定义

让我们从反向的定义开始。

定义 Let A be a $ kimes k $ 矩阵。它的反向,如果存在,是 $ kimes k $ matrix $ a ^ { -  1} $ that satisfies[eq1]在哪里 I is the $ kimes k $ identity matrix. If $ a ^ { -  1} $ 存在,然后我们这么说 A is invertible.

When $K=1$, then $I=1$ and [eq2]哪个 明确表示上面的定义概括了互惠概念 a number.

例子 Consider the matrix [eq3]然后, we can verify that[eq4]经过 carrying out the 乘法之间的倍增 two matrices:[eq5]

逆的存在

在什么条件下是方形矩阵可逆?下一个命题 回答这个问题。

主张 A $ kimes k $ matrix A 如果才能且仅当它是可逆的 full-rank.

证明

让我们首先证明“如果”部分(全级别 意味着可逆性)。表示 [eq6] the K columns of the $ kimes k $ identity matrix I. If A 是全级别,然后是它 K columns are linearly independent。这意味着任何 K - 一维 矢量可以写成一个 linear combination of the columns of A (see the lecture on standard bases 对于证明)。因此,对于 $ k = 1,ldots,k $, we can write $ e_ {k} $ 作为列的线性组合 A:[eq7]在哪里 [eq8] 是线性组合的系数。通过使用所呈现的结果 in the lecture on matrix 乘法和线性组合,这些系数可以堆叠 to form a Kx1 vector [eq9]这样的 that[eq10]而且, the column vectors $ c_ {ullet k} $ 可以并排放置以形成a $ kimes k $ matrix [eq11]这样的 that[eq12]因此, A is invertible and [eq13]我们 现在将证明“只有”部分(可释放意味着全级)。 If an inverse $ a ^ { -  1} $ exists, then[eq14]后乘以 任何方程的两侧都是任何 Kx1 vector $ v $, we get[eq15]或者[eq16]因此, any vector $ v $ 可以写成列的线性组合 A, 带有系数 $ a ^ { -  1} v $. 换句话说,列的列 A span 这 space of all Kx1 vectors。如果他们没有线性独立,那么我们就可以 消除其中一些并获得一组线性独立的向量 1)是空间的基础 $ s $ of all Kx1 载体; 2)具有少于的基数 K. 但这是不可能的,因为任何基础 $ s $ 有基数等于 K (see the lecture on standard bases)。因此,列 A 必须是线性独立的,这意味着 A has full rank.

奇异基质

不可逆于不可逆转的矩阵被称为a 奇异基质. 通过上面的命题,奇异矩阵是没有的矩阵 全级别。因此,有时也称为奇异矩阵 排名缺陷.

逆的唯一性

主张 If the inverse of a $ kimes k $ 矩阵存在,那么它是唯一的。

证明

在证明矩阵 A 如果才能才是全级别,我们已经证明了这一逆 可以通过列来构造列,通过找到向量 $ c_ {ullet k} $ that solve[eq10]那 是,通过将规范基础的向量写作作为线性组合 the columns of A. 由于载体的表示是唯一的,因此是独特的,因此 vectors $ c_ {ullet k} $ 是独一无二的。但后者是柱子 $ a ^ { -  1} $. Therefore, also $ a ^ { -  1} $ is unique.

右边和左转

重要事实是 $ a ^ { -  1} $ 不仅在预乘以时给身份矩阵,而且还给出了身份矩阵 后乘以 A.

主张 Let A be a $ kimes k $ 矩阵。如果它的倒立 $ a ^ { -  1} $ 存在,它不仅满足了 condition[eq18]但 also the condition[eq19]在哪里 I is the $ kimes k $ identity matrix.

证明

繁殖后两侧 equation[eq20]经过 A, and obtain[eq21]或者 [eq22]但 we also have that[eq23]现在, 似乎(1)和(2)似乎暗示了这一点 [eq19]尽管如此, 它需要证明。证据如下。等式(1)说 columns of A, 在等式的右侧,可以被视为线性组合 the columns of A 本身,在左侧,有来自的系数 $ a ^ { -  1} a $. 等式(2)说这一列 A, 在等式的右侧,可以被视为线性组合 the columns of A 本身,在左侧,有来自的系数 I. Since A 是全级别,其列是所有空间的基础 Kx1 vectors,以及基础上的代表唯一性(见 the lecture entitled Basis of a linear space),线性组合的系数必须是 the same, that is,[eq19]

逆产品

以下主张持有。

主张 Let A and $ b $ be two $ kimes k $ 矩阵。然后,产品 $ ab $ 如果才能是可逆的 A and $ b $ are invertible. Furthermore,[eq26]

证明

两个矩阵 A and $ b $ 如果才能且仅当它们是全级别(见上文)是可逆的。如果 A and $ b $ are full-rank, then $ ab $ 是全级别(见讲座 矩阵 products and rank)。相反,如果两个矩阵中的至少一个不是 全级别,然后产品的等级小于 K because[eq27]在 其他单词,产品只有级别 A and $ b $ 是全级别的。此外,可以很容易地检查 $ b ^ { -  1} a ^ { -  1} $ 满足反向的定义 $ ab $:[eq28]

倒闭

下一个命题展示了如何计算转置的倒数 matrix.

主张 Let A be a $ kimes k $ matrix and $ a ^ {op} $ its transpose. If A is invertible, then $ a ^ {op} $ is invertible and [eq29]

证明

我们有 that[eq30]经过 转发等式的两侧,我们 obtain[eq31]因为 标识矩阵等于其置换。通过使用公式 我们的换位,我们 get[eq32]所以, [eq33] 满足反向的定义 $ a ^ {op} $.

解决练习

下面可以找到一些练习解释的解决方案。

练习1

Define[eq34]

Verify that[eq35]

解决方案

我们需要进行乘法 between the two matrices:[eq36]他们的 产品等于身份矩阵,所以 $ a ^ { -  1} $ 确实是倒立的 A.

练习2

Let A, $ b $ and $ C $ be $ kimes k $ 全排列矩阵。表达 inverse[eq37]在 逆的条款 A, $ b $ and $ C $.

解决方案

我们必须多次应用公式 for the inverse of a product:[eq38]

练习3.

Show that[eq39]

解决方案

根据定义,反向 $ a ^ { -  1} $ needs to satisfy[eq40][eq19]作为 a consequence, [eq39]

如何引用

请引用:

Taboga, Marco (2017). "矩阵", Lectures on matrix algebra. //www.enerxy-china.com/matrix-algebra/inverse-matrix.

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