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指数 > Matrix algebra

身份矩阵

经过 ,博士学位

身份矩阵是一个方形矩阵,其对角线条目全部等于 一个并且其非对角线条目均等于零。

身份矩阵在线性代数中发挥着关键作用。特别是他们的角色 in 矩阵乘法 类似于数字1在乘法中扮演的角色 numbers:

目录

定义

以下是正式定义。

定义 Let I be a $ kimes k $ matrix. I 如果且仅当且仅当 $ i_ {ij} = 1 $ when $ i = j $ and $ i_ {ij} = 0 $ when $i
eq j$.

因此,行索引的条目 i and column index $ j $ 重合(即,位于主角线上的条目)等于 1. 所有其他条目都等于 0.

When $K=1$, 只有一个条目, and[eq1]

例子

遵循身份矩阵的一些示例。

例子 The $ 2 $ 2 $ identity matrix is[eq2]

例子 The 3美元3美元 identity matrix is[eq3]

例子 The $ 4 $ 4 $ identity matrix is[eq4]

涉及身份矩阵的产品

关键属性是,当它乘以时,矩阵保持不变 identity matrix.

主张 Let A be a $ kimes l $ matrix and I the $ kimes k $ identity matrix. Then,[eq5]

证明

由这件事 definition of matrix product, 这 $ left(i,j
Ight)$ - entry of the product $ ia $ is[eq6]在哪里: in step $ rame {a} $ 我们已经使用了这个事实 $ i_ {ik} = 0 $ when $k
eq i$; in step $ rame {b} $ 我们已经使用了这个事实 $ i_ {ii} = 1 $ ($ i_ {ii} $ 是在主要的对角线上 I)。 Since[eq7]为了 every i and $ j $, $ ia = $.

主张 Let A be a $ kimes l $ matrix and I the $ limes l $ identity matrix. Then,[eq8]

证明

证明类似于上一个 one:[eq9]

身份矩阵是幂等的

前两个命题的后果是 that[eq10]

and [eq11]

换句话说,身份矩阵的任何力量等于标识 matrix itself.

调用具有此属性的矩阵(它等于其权力) idempotent.

对称

身份矩阵的另一个重要属性是它是对称的, 那是,等于它 transpose:[eq12]

证明

矩阵 I 如果和只有对称 if[eq13]为了 any $ j $ and i. 但上述平等始终持有 $ i = j $, 它适用于身份矩阵 $i
eq j$ because[eq14]

如何引用

请引用:

Taboga, Marco (2017). "身份矩阵", Lectures on matrix algebra. //www.enerxy-china.com/matrix-algebra/identity-matrix.

这本书

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