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同质系统

经过 ,博士学位

A homogeneous 系统 of equations 是一个系统,右手常数矢量 等号的一侧为零。

在这篇讲座中,我们提供了一组快三一定牛方案的一般性化 一个同质系统。

目录

定义

同质系统有 form[eq1]在哪里 A is a $ kimes l $ 系数矩阵, x is a $ limes 1 $ 背景的传染媒介和 0 is the Kx1 zero vector.

例子 The system[eq2]哪个 可以用矩阵形式编写 as[eq3]是 homogeneous.

行梯队形式中的等效系统

By performing elementary row operations 在同质系统上,我们获得 equivalent systems 这都是均匀的。事实上,基本行运营 (将等式乘以非零常数;添加一个倍数 另一个方程式的等式;互换两个方程式)离开零 等于不受影响的等于符号的右侧的常数矢量。

因此,我们可以将原始系统转换为等同的系统 homogeneous system[eq4]在哪里 the matrix $ r $ is in row echelon form (REF).

琐碎的快三一定牛方案

一个均匀的系统总是有 solution[eq5]哪个 被称为琐碎的快三一定牛方案。

基本和非基本变量

请记住,ref矩阵的列是两种:

例子 考虑以下 $ 2倍4美元 matrix in row echelon form:[eq6]这 首先,第三列是基本的,而第二列是基本的,而第四列是 non-basic.

分区系统

Suppose that the $ kimes l $ REF matrix $ r $ has $ r $ basic columns.

没有一般性,我们可以假设第一个 $ r $ 列是基本的,最后一个 $ l-r $ 是非基本的(如果需要,我们可以重新编号未知数)。

Partition the matrix $ r $ into two blocks:[eq7]在哪里 $ b $ is the $ kimes r $ 基本列的子矩阵和 $ n $ is the [eq8] 非基本列的子矩阵。

同样地,将未知的向量分成两个 blocks:[eq9]在哪里 $ x_ {b} $ is the $ rimes 1 $ 碱性变量矢量和 $ x_ {n} $ is the [eq10] 非基本变量矢量。

然后,我们可以编写方程式系统 as[eq11]或者[eq12]

一般快三一定牛方案

均匀的一般解 system[eq1]是 所有可能的快三一定牛方案的集合,即所有的集合 x 满足方程式的系统。

我们已经知道,如果系统有快三一定牛方案,那么我们可以任意 选择非基本变量的值 $ x_ {n} $ 然后通过背替代算法找到基本的值 variables $ x_ {b} $ 快三一定牛系统。在均匀情况下,快三一定牛方案的存在是 不是一个问题,因为常量的向量为零(修改讲座 the row echelon form if you are wondering why).

因此,有一个独特的 $ x_ {b} $ 为任何任意选择快三一定牛方程(1) $ x_ {n} $.

Since $ b $ is full-rank and $ rleq k $, the matrix [eq14] 是全级别(参见讲座 rank of matrix products)。因此,我们可以预先乘以等式(1) [eq15] so as to obtain[eq16]

Define[eq17]

Then, we have[eq18]

后者可用于表征均匀的一般溶液 系统:它将基本变量的值显式链接到其中的基本变量的值 可以任意设置的非基本变量。

Denote by $ s_ {h} $ 一般快三一定牛方案(即,所有可能的快三一定牛方案集)。然后我们 have[eq19]

The product $ hx_ {n} $ can be seen as a linear 列的组合 of H 谁的系数是非基本的 variables:[eq20]

Thus, each column of H 是系统的特定快三一定牛方案,通过设置其对应而获得 非基本变量等于 1 并且所有其他非基本变量等于 0. 通过采取这些特定快三一定牛方案的线性组合,我们获得了 general solution.

显然,一般快三一定牛方案也嵌入了琐碎的,获得 通过将所有非基本变量设置为零。

例子 考虑同质的 system[eq4]在哪里[eq22][eq23]然后, we can define[eq24]这 系统可以写成 as[eq25]但 since $ b $ is the identity matrix, 我们 have[eq26]因此, 系统的一般快三一定牛方案是所有向量的集合 x that satisfy[eq27]

快三一定牛练习

下面可以找到一些练习解释的快三一定牛方案。

练习1

Define the $ 3 $ 2 $ matrix[eq28]

找到一般的快三一定牛方案 system[eq1]在哪里 x is a $ 2倍1美元 vector of unknowns.

快三一定牛方案

矩阵 A 不在行梯队形式,但我们可以从第一行中减去三次 第三个是在行梯队中获得等效矩阵 form:[eq30]因此, 我们可以讨论相同的快三一定牛方案 system[eq4]自从 两列都是两列 $ r $ 是基本的,没有未知的任意选择。因此, 只有系统的快三一定牛方案是微不足道的一个 ($x=0$)。

练习2

Define the $ 3 $ 2 $ matrix[eq32]

找到一般的快三一定牛方案 system[eq1]在哪里 x is a $ 3 $ 1 $ vector of unknowns.

快三一定牛方案

为方便起见,我们将要去 transform A into a reduced row echelon form 矩阵。我们划分了第二排 $2$; 然后,我们从第一个中减去第二行的两倍。结果是 缩小行梯队中的等效矩阵 form:[eq34]我们 现在可以讨论等同物的快三一定牛方案 system[eq4]这 系统可以写成 as[eq36]因此, 系统的一般快三一定牛方案是所有向量的集合 x that satisfy[eq37]

如何引用

请引用:

Taboga, Marco (2017). "同质系统", Lectures on matrix algebra. //www.enerxy-china.com/matrix-algebra/homogeneous-system.

这本书

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