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多项式最大的常见除法

经过 ,博士学位

一组多项多项式的最大分歧(GCD)是 “最大”的声音多项式分割给定的所有成员 set.

目录

预备

在介绍GCD之前,我们将审查多项式的基础知识 (在本节中)及其师(在下一个)。

Let F 是一个领域(例如,真实数字集 R 或者是一个复杂数字 $ u {2102} $)。

A polynomial of degree $ m $ is a function $ f:f
ighararrow f $ defined by[eq1]在哪里 $ m $ 是一个非负整数,系数 [eq2] and the argument $ z $ belong to F, and $a_{m}
eq 0$.

从现在开始,除非另有说明,否则, 我们总是假设所有的 多项式在相同的字段上定义 F.

当领先的系数 $ a_ {m} $ is equal to 1, 然后我们说多项式是蒙诗。

When $ fleft(z
Ight)$ 通过惯例相同等于零,多项式的程度是 $ -infty $.

多项式的程度 $ F $. is often denoted by [eq3].

审查部门

The division of two polynomials $ F $. and $ g $ (with [eq4]) 通过找到独特的多项式商来执行 $ q $ such that [eq5][eq6]. 两种情况是可能的:

通过使用所谓的划分算法,不仅我们能够显示 such a polynomial $ q $ 存在,但我们实际上可以计算 $ q $.

If the remainder $ r $, 这通常是多项式,相同等于零,即 is, if[eq10]然后 we say that $ g $ is a divisor of $ F $. (or that $ g $ divides $ F $., or that $ F $. is divisible by $ g $) and we write[eq11]

例子 考虑多项式 [eq12] defined by [eq13]然后 $ left(4 + z
Ight)$ and [eq14] are divisors of $ F $.. 这些不是唯一的除法 $ F $.. For example, [eq15] is a divisor of $ F $. because[eq16]

单级除法

前面的示例突出了一个有趣的事实:如果 $ g $ is a divisor of $ F $., then, for any scalar $c
eq 0$, $ cg $ is also a divisor of $ F $.. 因此,我们可以通过任意产生无限数量的除数 任何除数的标量倍数。

为了避免处理无限数量的除数,我们经常集中注意力 在单分割,即主要系数的除数 1.

例子 在前面的示例中,我们可以编写多项式 $ F $. as[eq17]从 我们可以看到 $ left(4 + z
Ight)$ and [eq18] 是单个分配的 $ F $.. Also the polynomial[eq19]是 a monic divisor of $ F $..

常见的二数

我们现在提供一个简单的定义,随后会有助于定义 最大公约数。

定义 Let [eq20] 是多项式。我们说多项式 $ g $ 是一个常见的除法 [eq21] 如果并且只有它是蒙诗 and[eq22]为了 $ j = 1,ldots,n $.

Here is an example.

例子 Let [eq23]然后, the polynomial[eq24]是 声像和它划分都是 $ f_ {1} $ and $ f_ {2} $. Therefore, $ g $ 是一个常见的除法 $ f_ {1} $ and $ f_ {2} $.

GCD.

我们现在准备定义最伟大的普通除数。

定义 Let [eq25] 是多项式。一个常见的除法 $ g $ of [eq26] 如果只有,是一个最伟大的常见除数 [eq27]为了 每一个常见的除法 $ d $, in which case we write[eq28]

换句话说,GCD是 常见的分歧 所有的常见除数.

下一节中提供了最简单的GCD示例。

两个多项式的GCD,其中一个是零

我们立即注意到,何时 $f
eq 0$, we have[eq29]在哪里 $ a_ {m} $ 是主要的系数 $ F $..

证明

自从 任何多项式划分 zero polynomial,常见的分歧 $ F $. and 0 是所有的单声道 $ F $.. 唯一的黑色多项式,其中1)分裂 $ F $. 和2)通过所有的声音除数来分开 $ F $. is: $ frac {1} {a_ {m}} f $. Therefore $ frac {1} {a_ {m}} f $ is the gcd of $ F $. and 0.

两个可分的多项式的GCD

这是另一个简单的例子。什么时候 $ f_ {1} | f_ {2} $, then[eq30]在哪里 $ a_ {m} $ 是主要的系数 $ f_ {1} $.

证明

自从 $ f_ {1} | f_ {2} $, all the divisors of $ f_ {1} $ are also divisors of $ f_ {2} $. 因此,该组常见除数与一组声道分配符合 of $ f_ {1} $. 如前一部分所示,这意味着 $ frac {1} {a_ {m}} f $ is the gcd.

欧几里德算法

存在GCD的证明是基于所谓的欧几里德 实际上允许计算GCD的算法。

在介绍欧几里德算法之前,我们需要提出以下内容 preliminary result.

主张 Let $ f_ {1} $ and $ f_ {2} $ be two polynomials. Let[eq31]是 算法的结果,其中 $ q $ is the quotient and $ r $ 是剩下的。然后, [eq32]如果 and only if[eq33]

证明

让我们证明“如果”部分,从 (2)持有的假设。然后我们 have[eq34]在哪里 we have denoted by $ f_ {2} / g $ and $ r / g $ 除以划分的商 $ f_ {2} $ and $ r $ by $ g $. Thus, $ g | f_ {1} $, and $ g $ 是一个常见的除法 $ f_ {1} $ and $ f_ {2} $. 假设存在另一个常见的除法 $ d $ of $ f_ {1} $ and $ f_ {2} $ (fact A). Then,[eq35]哪个 implies that $ d $ is a divisor of $ r $ 而且,因此,一个常见的除法 $ f_ {2} $ and $ r $. 因此,通过初始假设(等式2),必须是这样的 $ d | g $ (事实b)。事实a和b综合暗示 $ g $ 是一个最大的常见分歧 $ f_ {1} $ and $ f_ {2} $. 让我们现在证明“只有”部分,从假设开始(1) holds. Then, we have[eq36]哪个 implies that $ g | r $ 而且,因此, $ g $ 是一个常见的除法 $ f_ {2} $ and $ r $. 假设存在另一个常见的除法 $ d $ of $ f_ {2} $ and $ r $ (fact C). Then,[eq37]哪个 implies that $ d $ is a divisor of $ f_ {1} $ 而且,因此,一个常见的除法 $ f_ {1} $ and $ f_ {2} $. 因此,通过初始假设(等式1),必须是 $ d | g $ (事实d)。事实c和d组合暗示 $ g $ 是一个最大的常见分歧 $ f_ {2} $ and $ r $.

我们现在可以证明存在两种多项式的情况。迭代 证明中使用的算法称为欧几里德算法。

主张 Let $ f_ {1} $ and $ f_ {2} $ 是两个多项式,使得它们中的至少一个并不相同 零。然后,存在多项式 $ g $ such that[eq38]

证明

在整个这个证据中,它很重要 remember that any 多项式划分零多项式。我们可以假设没有损失 generality that [eq39] (否则我们反转两个多项式的顺序)。如果 $ f_ {2} = 0 $, then $f_{1}
eq 0$ and we can choose [eq40]在哪里 $ a_ {m} $ 是主要的系数 $ f_ {1} $. Thus, $ g $ is monic. Since [eq41]$g|0$, $ g $ 是一个常见的除法 $ f_ {1} $ and $ f_ {2} $. Let $ d $ 是另一个常见的分歧。 Then,[eq42][eq43]哪个 implies that $ d | g $. Hence, $ g $ 是一个最大的常见分歧 $ f_ {1} $ and $ f_ {2} $. 因此,我们能够在其中找到一个GCD $ f_ {2} = 0 $. If $f_{2}
eq 0$, 然后我们迭代地应用该部门 Algorithm[eq44]记住 在分割算法中,商是零或剩余部分 具有比除法者更低的程度。前者不能发生,因为 [eq45]. 因此,剩余时间的程度在每次迭代时减少。我们停下来 the iterations when $ r_ {n} = 0 $ (保证发生在 $ r_ {n-1} $ reaches degree 1)。 通过以前的命题,表现出存在的存在 [eq46] 相当于显示存在 [eq47], [eq48], ..., [eq49], [eq50]. But[eq51]在哪里 $ b_ {l} $ 是主要的系数 $ r_ {n-1} $, 通过上面应用的相同推理案例 $ f_ {2} = 0 $.

注意至少两个多项式中的至少一个的基本要求 与零多项式不同。如果两种多项式为零,那么 任何其他多项式是常见的除数,因此没有“上部 绑定“到一组常见的除法,没有GCD。

存在证明可以扩展到两个以上的多项式。

主张 Let [eq52] 是多项式,其中至少一个不相同等于零。然后, 存在多项式 $ g $ such that[eq53]

证明

证明是诱导。假设没有 失去普遍的 $f_{1}
eq 0$ (否则我们可以重新订购多项式)。然后,通过以前的命题 there exists[eq54]认为 that there exists[eq55]我们 需要证明后者的假设意味着那里 exists[eq56]我们 define[eq57]经过 equation (2) $ g_ {n} | g_ {n-1} $ and by equation (1) $ g_ {n-1} | f_ {j} $ ($ j = 1,ldots,n-1 $)。 Therefore, $ g_ {n} | f_ {j} $ ($ j = 1,ldots,n-1 $)。 另外,通过等式(2), $ g_ {n} | f_ {n} $. Thus, $ g_ {n} $ 是一个常见的除法 [eq58]. Let $ d $ 是任何其他常见的分歧 [eq59]. 通过等式(1),我们有那个 $ d | g_ {n-1} $. Thus, $ d $ 是一个常见的除法 $ g_ {n-1} $ and $ f_ {n} $, 这意味着,通过等式(2),即 $ d | g_ {n} $. Hence, [eq56]

唯一性

如果存在最大的常见除法,那么它是独一无二的。

主张 Let [eq61] 是多项式,其中至少一个不相同等于零。然后, there is a unique[eq62]

证明

认为 $ h $ is another gcd. Both $ g $ and $ h $ 是常见的分歧 [eq63]. Then, $ g | h $ and $ h | g $ 通过GCD的定义。已证明的讲座 Division Algorithm, 相互分配是彼此的标量倍数。 Hence,[eq64]在哪里 $ C $ 是非零常数。但两者都是 $ g $ and $ h $ 是蒙诗,这意味着 $c=1$. Hence, $ h = g $.

相对素质

这是一个你经常遇到的术语。

定义 Let [eq65] be polynomials. If[eq66]然后 we say that [eq67] 是相对素质的。

Bézout's theorem

以下主张,通常被称为béZout的定理,提供了一个 GCD的代表。

主张 Let $ f_ {1} $ and $ f_ {2} $ 是两个多项式,使得它们不会相同等于零。然后, 存在两个多项式 $ p_ {1} $ and $ p_ {2} $ such that[eq68]

证明

I be the set of all polynomials[eq69]那 可以通过任意选择来形成 $ f_ {1} $ and $ f_ {2} $, 不包括零多项式(即, [eq70])。 Let $ h $ be an element of I 具有尽可能低的程度。注意 [eq71] 因为我们可以选择 $ p_ {1} = 1 $ and $ p_ {2} = 0 $. 通过分割算法,存在多项式 $ q_ {1} $ and $ r_ {1} $ such that [eq72][eq73] (我们在这种情况下,而不是在这种情况下 $q=0$ because [eq74])。 Suppose that[eq75]我们 can write[eq76]因此, $ r_ {1} $ 有表格(1)。因此,它属于 I 或者它是零多项式。它不能属于 I because [eq77], 与假设相反 $ h $ 是一个最低程度的多项式 I. Therefore, $ r_ {1} = 0 $. As a consequence, $ h | f_ {1} $. 以一种完全类似的方式,我们可以证明这一点 $ h | f_ {2} $. Denote by $ h_ {m} $ 领先的系数 $ h $ and define[eq78]所以 that $ g $ 是蒙诗。多项式 $ g $ 是一个常见的除法 $ f_ {1} $ and $ f_ {2} $. Suppose that $ d $ 是另一个常见的除数。 Then,[eq79][eq80]因此, $ d | g $. As a consequence,[eq81]

解决练习

下面可以找到一些练习解释的解决方案。

练习1

使用欧几里德算法找到GCD of[eq82][eq83]

解决方案

我们首先划分两者 polynomials:[eq84]因此, 该部门的其余部分是 [eq85] and we have[eq86]我们 需要执行一个新的 division:[eq87]因此, 该部门的其余部分为零,我们通过划分获得GCD $ r_ {1} $ by its leading coefficient:[eq88]

如何引用

请引用:

Taboga, Marco (2017). "多项式最大的常见除法", Lectures on matrix algebra. //www.enerxy-china.com/matrix-algebra/greatest-common-divisor-of-polynomials.

这本书

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