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广义特征向量

经过 ,博士学位

矩阵的广义特征向量 A 是否用于与特征向量形成基础的载体 A 当后者不足以形成基础(因为矩阵是 defective).

目录

定义

我们从一个正式的定义开始。

定义 Let A be a $ kimes k $ matrix. Let $ lambda $ be an eigenvalue of A. A Kx1 non-zero vector x 据说是一个广义特征向量 A 与特征值相关联 $ lambda $ 如果且仅在存在整数时 $ kgeq 1 $ such that[eq1]在哪里 I is the $ kimes k $ identity matrix.

Note that ordinary eigenvectors satisfy[eq2]

因此,普通特征向量也是广义特征向量。然而, 交谈不一定是真的。

例子 Define the matrix[eq3]它的 characteristic polynomial is [eq4]在哪里 in step $ rame {a} $ we have used the Laplace expansion。因此,唯一的特征值(与 algebraic multiplicity equal to $3$) is[eq5]这 vector [eq6]满足[eq7]因此, x is an eigenvector of A. We have[eq8]这 vector[eq9]满足[eq10]因此 这是一个广义的特征向量。

等同的定义

以下标准可以用作广义的等同定义 eigenvector.

主张 Let A be a $ kimes k $ matrix. Let $ lambda $ be an eigenvalue of A. A non-zero vector x 是一个广义特征向量 A 与特征值相关联 $ lambda $ if and only if [eq11]

证明

“如果”部分是微不足道的,因为任何非零 vector satisfying[eq12]是 根据定义是一个概括的特征向量 A. 让我们现在证明“只有”部分。让 $ s $ be the space of all Kx1 vectors。假设一个广义的特征向量 x satisfies[eq13]为了 a given integer k. 如在讲座中所示 矩阵 powers,null. space[eq14]成为 larger by increasing k, 但它不能更大 than[eq15]在 other words,[eq16]为了 any integer k. As a consequence,[eq17]那 is, x satisfies[eq12]

我们现在定义了广义特征向量的等级。

定义 Let A be a $ kimes k $ matrix. Let $ lambda $ be an eigenvalue of A. Let x 是一个广义的特征向量 A 与特征值相关联 $ lambda $. We say that x 是一个级别的等级特征向量 k if and only if[eq19]

因此,级别的普通特征向量 1 是一个普通的特征矢量。

广义的eIgenspace.

称为与特征值相关联的所有广义特征向量的集合 广义的eIgenspace。

定义 Let A be a $ kimes k $ matrix. Let $ lambda $ be an eigenvalue of A. 所有普遍的特征向量(加零 vector)[eq20]是 称为与之相关的广义eIgenspace $ lambda $.

请注意,我们已经证明(见上面的等效定义) null space [eq21] 包含所有广义的特征向量。但是,它也包括 零向量,这不是广义特征向量。

由于广义的eIgenspace是 null space 的 a power of $ a-lambda i $, 它有两个重要的属性:

第二点的明显后果是 that[eq24] for any [eq25]和 any k.

广义的eIgenspaces只有归零载体共同

对应于两个不同的特征值的两种成分空间仅具有零 vector in common.

主张 Let A be a $ kimes k $ matrix. Let $ lambda _ {1} $ and $ lambda _ {2} $ 是两个不同的特征值 A (i.e., [eq26])。 然后,他们的广义截断满足 [eq27]

证明

我们将使用以下内容 notation:[eq28]这 证明是矛盾的。假设 x 是属于两个广义的交叉点的非零矢量 eigenspaces. Let k 是最小的整数 that[eq29]所以 that[eq30]哪个 implies that [eq31]是 与之相关的特征向量 $ lambda _ {1} $. Clearly, [eq32]. Note that $ y $ 通过反复申请获得 x the transformation[eq33]哪个 maps $ qtr {cal} {n} _ {2} $ 进入自己,因为都是 [eq34] and $ a-lambda _ {2} I $ map $ qtr {cal} {n} _ {2} $ 进入自己(后者由上面讨论的不变性)。因此,不是 only [eq35], but also [eq36], that is,[eq37]自从 $ y $ 是一个特征矢量,它是非零 and[eq38]而且, 它是与之相关的特征向量 $ lambda _ {1} $, 这意味着它也不能成为与之相关的特征向量 $ lambda _ {2} $ (because eigenvectors 对应于不同的特征值是线性独立的)。作为一个 consequence,[eq39]为了 any $j>1$, we have [eq40]因此, $ y $ 不是与之相关的广义特征向量 $ lambda _ {2} $. 因此,我们已经抵达了一个矛盾。结果,零载体是 唯一属于两个广义的载体 eigenspaces.

最小的多项式再次

感谢我们在讲座中发现的事情,我们可以改进 我们对最小多项式的理解。

Remember that the minimal polynomial of A is the annihilating polynomial (i.e., [eq41]) 具有尽可能低的程度,它可以用 A as[eq42]在哪里 [eq43] 是不同的特征值 A.

主张 Let A be a $ kimes k $ matrix. Let p 是最小的多项式 A:[eq44]然后, for $ j = 1,ldots,m $, the exponent $
u _{j}$ 是与之相关的广义特征向量的等级 $ lambda _ {j} $ 排名最高。

证明

我们将证明这一命题 the case $j=1$. 其他病例是相似的。首先,我们将证明那里 存在一般性特征向量等级 $
u _{1}$. Define[eq45]和 note that[eq46]因为 otherwise p 不会很少。因此,存在非零 Kx1 vector $ s $ such that[eq47]定义[eq48]然后,[eq49][eq50]因此,[eq51]哪个 implies that x 是一个级别的等级特征向量 $ v_ {1} $. 我们现在需要证明不存在普遍的特征向量 等级更高。证据是矛盾的。假设存在一个 广义特征向量 $ y $ 等级更高,即 that[eq52]为了 $
u >
u _{1}$. Define[eq53]然后,[eq54]因素 最小的多项式 p as[eq55]自从 p 我们是一个湮灭的多项式,我们 have[eq56]定义[eq57]因此, [eq58]哪个 implies that [eq59]. But[eq60]哪个 implies that [eq61]. 这是不可能的 $ q $ is non-zero, and [eq62] and [eq63] 只有共同的零载体(它们可用于形成a direct sum,如图所示 lecture on the 主要分解 Theorem;因此,它们必须只有共同的零载体)。因此, 我们已经到了一个矛盾和初步假设 存在一个级别的等级特征向量 $
u >
u _{1}$ must be wrong.

Thus, the exponent $
u _{j}$ 在最小多项式中,提供了两个关键信息:

这两点的一个相当重要的后果是 that[eq64]哪个 在本讲座结束时在解决的练习中有详细证明。

换句话说,与之相关的广义eIgenspace $ lambda _ {j} $ is the null space of [eq65].

We already knew that[eq66]

But the exponent $ v_ {j} $ 当空白空间停止时,究竟告诉我们 growing:[eq67]在哪里 $子集$ 表示严格纳入。

因此,使用讲座中引入的术语 Range null-space decomposition, $ v_ {j} $ 是矩阵的索引 $ a-lambda _ {j} i $.

重新审视主要分解定理

Let $ s $ be the space of all Kx1 vectors and A a $ kimes k $ matrix.

在前面的讲座中,我们证明了这一点 主要分解 Theorem,哪些指出了矢量空间 $ s $ can be written as[eq68]在哪里 $ oplus $ denotes a direct sum, [eq69] 是不同的特征值 A and [eq70] 是相同的严格正整数出现在 最小 polynomial.

因此,通过直接金额的定义,我们能够唯一 write each vector $ sin s $ as[eq71]在哪里 $ x_ {j}以$ [eq72] for $ j = 1,ldots,m $.

因此,我们可以通过使用来重新解释/重新陈述主要分解定理 本讲义中介绍的术语:矢量空间 $ s $ 可以作为概括的eIgenspaces和每个向量的直接写成 $ sin s $ 可以写成与不同的概要特征向量的总和 eigenvalues.

广义特征向量的基础

主要分解定理的直接后果,如所重述 above, follows.

主张 Let $ s $ be the space of all Kx1 vectors. Let A 是一个矩阵。然后,存在一个 basis for $ s $ 由普遍的特征向量形成 A.

证明

为每个广义选择一个基础 eigenspace并写下每个矢量 $ x_ {j} $ 在等式(1)中作为基础的线性组合 [eq73]. 因此,我们可以写任何 $ sin s $ 作为广义特征向量的线性组合,以及 普遍的eIgenspaces的基础 spans $ s $. 联盟的载体是线性的,因为 $ s $ 是eIgenspaces的直接和。因此,联盟是一个基础 $ s $.

将这一结果对比是有趣的,结果讨论了 lecture on the linear 特征向量的独立性:虽然并不总是可以形成一个 (普通)特征向量的基础 $ s $, 始终可以形成广义特征向量的基础!

广义截断的尺寸

每个广义的eigenspace的尺寸等于代数 相应的特征值的多重性。

主张 Let A be a $ kimes k $ matrix. Let $ lambda $ be an eigenvalue of A 具有代数多重等于 亩. Let [eq74]是 与之相关的广义eIgenspace $ lambda $. Then, the dimension of $ n_ {lambda} $ is 亩.

证明

由这件事 Schur decomposition theorem,存在一个 unitary matrix $ q $ such that[eq75]在哪里 $ t $ is upper triangular and $ q ^ {st} $ denotes the conjugate transpose of $ q $. Since A and $ t $ are similar,他们有相同的 特征值。此外,可以以这样的方式执行SCUR分解 that the last 亩 对角线上的条目 $ t $ are equal to $ lambda $. We have[eq76][eq77]写 the matrix $ t-lambda i $ 作为一个块三角形 matrix[eq78]在哪里 $ b $ 是一个上三角矩阵,主要是其主要条目 diagonal, $ C $ 是一个上三角矩阵,主要对角线上有零条目 $ st $ 表示可能非零条目的通用矩阵。我们 have[eq79] block $ b ^ {k} $ 是上三角形,它的对角线条目严格为正面,而且 $ c ^ {k} = 0 $ (通过一个简单的诱导参数,与证明中使用的非常相似 of the Cayley-Hamilton theorem)。首先 $ k-mu $ rows of A 显然是线性的独立,而最后 亩 是零。因此,这是 rank of [eq80] is $ k-mu $. Since $ q $ is full-rank, and multiplication by a 全级方形矩阵保留等级, 还 [eq81] has rank $ k-mu $. Then, the rank-nullity theorem 允许我们获得所需的 result:[eq82]

解决练习

下面可以找到一些练习解释的解决方案。

练习1

在上面的一个例子中,我们发现了两个广义的特征向量 matrix[eq83]能 您可以找到第三个概括的特征向量以便完成基础 广义特征向量?

解决方案

我们已经找到了广义的 eigenvector [eq6]满意[eq85]和 the generalized eigenvector[eq9]满意[eq87]现在, we compute[eq88]和, for example, the vector[eq89]满足[eq90]而且, [eq91] 是空间的基础 $ 3 $ 1 $ vectors(所谓的 standard basis)。

练习2

Let A be a $ kimes k $ matrix. Let $ lambda _ {j} $ be an eigenvalue of A and $
u _{j}$ 它在最小多项式中的相应指数。我们证明了这一点 至少存在一个等级的一个广义特征向量 $ v_ {j} $ associated to $ lambda _ {j} $ 并且没有与之相关的一般特征向量 $ lambda _ {j} $ 可以比例大于 $
u _{j}$. 详细说明,而这些事实意味着 that[eq92]

解决方案

自从 $
u _{j}$ 小于或等于代数多重 $ lambda _ {j} $ 后者小于或等于 K, we have $
u _{j}leq K$. Hence, by the properties of matrix powers, [eq93]现在 suppose that [eq94], so that[eq95]自从 没有一般性的特征向量可以比 $
u _{j}$, it must be that[eq96]因此, [eq97] and[eq98]这 通过组合(2)和(3)获得陈述结果。

如何引用

请引用:

Taboga, Marco (2017). "广义特征向量", Lectures on matrix algebra. //www.enerxy-china.com/matrix-algebra/generalized-eigenvector.

这本书

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