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基本矩阵的决定因素

经过 ,博士学位

在这次讲座中,我们研究了 determinants of 基本矩阵。此处衍生的结果将在随后使用 证明任何讲究的讲座 matrix.

目录

基本矩阵

Remember that an elementary matrix 是通过执行的方形矩阵来获得 基本行或列 operation 在AN. identity matrix.

此外,基本矩阵可用于执行基本操作 在其他矩阵上:如果我们在a上执行基本行(列)操作 matrix A, 这与在身份矩阵上执行给定操作相同 I, 以便获得一个基本矩阵 E, 然后预先乘以(乘法后) A by E.

还要记住,有三个基本行(列)操作:

这三种操作中的每一个都将在下一个分开分析 部分。我们将专注于基本行运营。列的结果 操作是类似的。

行乘法矩阵的决定因素

让我们从允许执行乘法的基本矩阵开始 一排由常数。

主张 Let A be a $ kimes k $ matrix. Let E 是通过乘以一排获得的基本矩阵 $ kimes k $ identity matrix I by a constant $c
eq 0$. Then,[eq1][eq2]

证明

表示 $ p $. the set of all permutations of the first K 自然数。表示 $ pi _ {0}以p $ 排斥 K 数字以自然秩序留下(按越来越顺序排序)。自从 $ pi _ {0} $ 不包含任何反转(参见讲座 排列的标志), 它的平价甚至是它的标志 [eq3]然后, 身份矩阵的决定因素 is[eq4]在哪里 in step $ rame {a} $ 我们已经使用了所有排列的事实 $ pi $ except $ pi _ {0} $ the product[eq5]涉及 至少一个等于零的偏差元素(记住所有 diagonal elements of I are equal to 1 所有偏差元素都等于 0)。 我们现在考虑基本矩阵 E. 唯一的差异 I 是那个对角线元素 E is equal to $ C $. As a consequence, we have[eq6]认为 第一排 E 已经乘以 $ C $, so that $ ea $ 是通过乘以第一行获得的矩阵 A by $ C $. 我们可以写出决定因素 $ ea $ as:[eq7]所以,[eq8]这 假设行乘以 $ C $ 是第一个没有损失的人(如果是的话 $ j $ - row, then [eq9] 需要在上述公式中进行绝对,但结果是相同的)。

行交换矩阵的决定因素

让我们现在解决允许交换的基本矩阵的情况 two rows.

主张 Let A be a $ kimes k $ matrix. Let E 是通过互换两行而获得的基本矩阵 $ kimes k $ identity matrix I. Then,[eq10][eq11]

证明

为了理解这个证据,我们需要 修改讲座中介绍的迁移概念 排列的标志。一种 换位是互换任何两个不同元素的操作 排列。转置会改变排列的奇偶校验(它使 甚至豁免奇数和反之亦然),以及它的标志。任何排列 the first K 通过对它们进行一系列来获得自然数 换位。换位的数量决定了奇偶校验 置换(即使转置的数量也是偶数,否则)。 Suppose the matrix E 已从身份矩阵获得 I 通过互换行 $ k_ {1} $ and $ k_ {2} $ and denote by $ q $ the set of the first K 自然数字除外 $ k_ {1} $ and $ k_ {2} $. 对于每个排列 $ pi $ of the first K 自然数量有排列 $
HO $ such that[eq12]自从 $
HO $ 是一个转子 $ pi $, we have[eq13]然后,[eq14]在哪里: in step $ rame {a} $ 我们已经使用了所有行的事实 E 等于行 I, except the $ k_ {1} $ - and $ k_ {2} $ - 互换;在步骤中 $ rame {b} $ 我们使用了折射的定义 $
HO $ 上面给出了。决定因素 $ ea $, 通过互换而获得 $ k_ {1} $ - and $ k_ {2} $ - rows of A, 是类似的 manner:[eq15]所以,[eq16]

行添加矩阵的决定因素

我们分析的最后一个案例是允许添加a的基本矩阵 一行多个行到另一行。

主张 Let A be a $ kimes k $ matrix. Let E 是通过添加一行倍数获得的基本矩阵 $ kimes k $ identity matrix I 到另一行。 Then,[eq17][eq18]

证明

假设矩阵 E 已从身份矩阵获得 I by adding $ lpha $ times the $ k_ {1} $ - row to the $ k_ {2} $ - 。 Denote by F 通过替换矩阵获得的矩阵 $ k_ {2} $ - row with the $ k_ {1} $ - 。 Thus, the $ k_ {1} $ - and the $ k_ {2} $ - row of F 重合。通过上面的命题在行互换上,确定的决定因素 matrix $ f ^ {prime} $ 通过互换而获得 $ k_ {1} $ - and the $ k_ {2} $ - rows of F is[eq19]$ f = f ^ {prime} $ 因为我们互换了两个相同的行,因此它必须是 that[eq20]哪个 implies[eq21]表示 by $ q $ the set of the first K 自然数字除外 $ k_ {2} $。然后,[eq22]这 determinant of $ ea $, 通过添加获得 $ lpha $ times the $ k_ {1} $ - row to the $ k_ {2} $ - row of A, 以类似的方式衍生。让我们表示 F 从中获得的矩阵 A by replacing the $ k_ {2} $ - row with the $ k_ {1} $ - 。 Then,[eq23]所以,[eq24]

产品的决定因素等于决定簇的产物

我们证明了所有三种基质矩阵 E satisfy the property[eq25]在 其他单词,涉及基本矩阵的产品的决定因素 等于决定因素的产物。我们将在后续讲座中证明 这是一个拥有任何两个平方矩阵的更全面的财产。

基本列操作

上面的所有命题关注用于执行行的基本矩阵 操作。相同的结果适用于列操作,并且其证明是 几乎相同。这是ransposition的事实的结果 不改变矩阵的决定因素(稍后将证明的事实) 和矩阵上的列操作 A 可以看作是在转置上执行的行操作 $ a ^ {op} $.

如何引用

请引用:

Taboga, Marco (2017). "基本矩阵的决定因素", Lectures on matrix algebra. //www.enerxy-china.com/matrix-algebra/elementary-matrix-determinant.

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