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对快三一定牛矩阵

经过 ,博士学位

对快三一定牛矩阵是一个方形矩阵,其异角条目都是相等的 to zero.

对快三一定牛矩阵同时:

因此,它享有享有的物业 triangular matrices也是如此 作为其他特殊属性。

目录

定义

遵循正式的定义。

定义 A $ kimes k $ matrix $ d $ 如果且仅当 $ d_ {ij} = 0 $ when $i
eq j$.

因此,行索引的对快三一定牛矩阵的条目 i and column index $ j $ 不要重合(即,未位于主快三一定牛上的条目)是相等的 to 0.

例子

我们现在提供对角矩阵的一些示例。

例子 The 3美元3美元 matrix[eq1]是 diagonal.

例子 The $ 4 $ 4 $ matrix[eq2]是 对快三一定牛。请注意,其中一个对快三一定牛条目 ($ d_ {22} $) 是零。这是允许的,因为该定义仅关注 偏离对快三一定牛条目(必须为零),允许任何值 diagonal elements.

对角矩阵的乘法

报告了关于涉及对角矩阵的产品的两个有用结果 below.

主张 Let A be a $ kimes l $ matrix and $ d $ a $ kimes k $ 对快三一定牛矩阵。然后,这 product[eq3]是 a $ kimes l $ matrix whose i - row is equal to the i - row of A multiplied by $ d_ {ii} $ (for every $ i = 1,LDOTS,K $)。

证明

由这件事 定义 matrix product, 这 $ left(i,j
Ight)$ - entry of $ da $ is[eq4]在哪里 我们已经使用了这个事实 $ d_ {ik} = 0 $ when $k
eq i$. The coefficient $ d_ {ii} $ 所有列索引都是相同的 $ j $ in a given row i. 因此,所有的元素 i - row of $ da $ 等于相应的元素 i - row of A, 乘以常数 $ d_ {ii} $.

主张 Let A be a $ kimes l $ matrix and $ d $ a $ limes l $ 对快三一定牛矩阵。然后,这 product[eq5]是 a $ kimes l $ matrix whose $ j $ - 列等于 $ j $ - column of A multiplied by $ d_ {jj} $ (for every $ j = 1,ldots,l $)。

证明

证据与前一个类似的证据类似 proposition. The $ left(i,j
Ight)$ - entry of $广告$ is[eq6]因为 $ d_ {lj} = 0 $ when $l
eq j$. The coefficient $ d_ {jj} $ 所有行指数都是一样的 i in a given column $ j $. 因此,所有的元素 $ j $ - column of $广告$ 等于相应的元素 $ j $ - column of A, 乘以常数 $ d_ {jj} $.

换句话说,我们有:

例子 Define[eq7][eq8]让 us pre-multiply A by $ d $:[eq9]这 给出与乘以第一行的结果 A by $2$ 和第二排 $4$. Let us post-multiply A by $ d $:[eq10]这 提供与乘以第一列的结果 A by $2$ 和第二列 A by $4$.

对快三一定牛矩阵的产品

下一个主张是前一个结果的直接后果 section.

主张 Let A and $ b $ be two $ kimes k $ 对快三一定牛矩阵。然后,他们的产品 $ ab $ and $ ba $ are also diagonal. Furthermore,[eq11]这 产品的对快三一定牛元素 are[eq12]为了 $ i = 1,LDOTS,K $.

证明

结果在上一节中, 计算产品 $ ab $ 与乘以乘以行 $ b $ 通过对快三一定牛条目 A. 这一事实,以及偏离对快三一定牛的事实 $ b $ 为零,意味着偏离对快三一定牛条目 $ ab $ 是零。因此,产品矩阵 $ ab $ 是对快三一定牛。它的对快三一定牛条目 are[eq13]在哪里 我们已经使用了这个事实 $ a_ {ij} = 0 $ if $i
eq j$. 以一种完全类似的方式,我们可以证明是偏离对快三一定牛的条目 of $ ba $ 是零,其对快三一定牛条目等于 $ ab $.

换句话说,矩阵乘法,这通常不是换向, 当乘法中涉及的所有矩阵都是交换 diagonal.

权力

由于上面的产品,对对快三一定牛矩阵的力量是 easy to derive.

主张 Let $ d $ be a $ kimes k $ 对快三一定牛矩阵。然后,这 n - power $ d ^ {n} $ is also diagonal and[eq14]为了 $ i = 1,LDOTS,K $.

证明

证明是诱导。我们开始 from[eq15]我们 有那个产品 $ dd $ is diagonal and [eq16]如果 结果是真的 $n-1$, then[eq17]是 diagonal and[eq18]

对快三一定牛和三角矩阵

请记住,矩阵是:

因此,下列命题持有。

主张 如果矩阵是对快三一定牛,则且仅当它既是上部和下三角形而且。

证明

同时播种上层和下部 三角形和对快三一定牛是相同的,因为所有的集合 非对快三一定牛条目(在对快三一定牛矩阵中为零)是 主对快三一定牛上方的条目集(下三角形中为零 矩阵)和主对快三一定牛下方的一组条目(在零中为零 上三角矩阵)。

下一个命题为存在的存在提供了简单的标准 对快三一定牛矩阵的反向。

主张 如果且仅当其主要的所有条目时,对快三一定牛矩阵是可逆的 对快三一定牛是非零。

证明

下一个命题显示如何在存在时实际计算逆。

主张 Let $ d $ be a $ kimes k $ 对快三一定牛条目非零的对快三一定牛矩阵。然后,它的反向 $ d ^ { -  1} $ 是一个对快三一定牛矩阵 that[eq19]为了 $ i = 1,LDOTS,K $.

证明

我们需要检查提出的逆 satisfies the definition of inverse:[eq20]在哪里 I is the identity matrix。但我们 知道两个对快三一定牛矩阵的乘积是对快三一定牛。此外,它 non-zero entries are[eq21]为了 $ i = 1,LDOTS,K $. 所有其他(偏差)条目都是零,均为零Imitix和 in the product $ dd ^ { -  1} $.

对称

另一个简单的属性如下所述。

主张 A diagonal matrix $ d $ 是对称的,即等于其 transpose:[eq22]

证明

矩阵 $ d $ 如果和只有对称 if[eq23]为了 any $ j $ and i. 但上述平等始终持有 $ i = j $, 它持有对快三一定牛矩阵时 $i
eq j$ because[eq24]

如何引用

请引用:

Taboga, Marco (2017). "对快三一定牛矩阵", Lectures on matrix algebra. //www.enerxy-china.com/matrix-algebra/diagonal-matrix.

这本书

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