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决定因素的性质

经过 ,博士学位

在这次讲座中,我们派生了几个有用的属性 determinant.

为了充分了解这段讲座,您需要记住主要的 结果源于讲座 决定因素 of an elementary matrix.

目录

三角矩阵的决定因素

第一个结果涉及一个决定因素 triangular matrix.

主张 Let  $ t $ be a $ kimes k $ 三角形矩阵(上部或下部)。然后,决定因素  $ t $ 等于其对角线的产物 entries:[eq1]

证明

假设  $ t $ 是较低的三角形。表示  $ p $. the set of all permutations of the first K natural numbers. Let $ pi _ {0}以p $ 是排斥 K 数字按越来越顺序排序。奇偶阶段 $ pi _ {0} $ 甚至是它的标志 [eq2]因为 它不包含任何反转(参见讲座 排列的标志 )。 然后,决定因素  $ t $ is[eq3] 在哪里 in step $ rame {a} $ 我们已经使用了所有排列的事实  $ pi $ except $ pi _ {0} $ the product[eq4]涉及 主对角线上方至少一个条目等于零。后者 事实可以通过矛盾来证明。假设产品仅涉及 主要对角线或下方的元素,以及它下面的至少一个元素 (otherwise $ pi = pi _ {0} $ )。 Then,[eq5] 为了 all $ k = 1,ldots,k $, 但不等式必须严格至少一个 k. 假设不平等是严格的 $ k_ {0} $. Then, we have [eq6] 为了 $ k = 1,ldots,k_ {0} $. 换句话说,排列  $ pi $ must contain $ k_ {0} $ 不同的自然数小于或等于 $ k_ {0} -1 $, 这显然是不可能的。这通过矛盾结束了证明。因此,我们 证明了下三角基质的主张。上部证明 三角矩阵几乎相同(我们只需要反转 最后一步的不等式)。

如上所示的主题的必然结果。

主张 Let I be an identity matrix. Then,[eq7]

证明

身份矩阵是对角线。所以, 它是三角形的,其决定簇等于其对角线的产物 参赛作品。后者都是等于的 1. 结果,决定因素 I is equal to 1.

转置不会改变决定因素

下一个命题国家的基本但重要的财产 determinant.

主张 Let A 是一个方形矩阵,表示其转置 $ a ^ {op} $. Then,[eq8]

证明

表示  $ p $. 所有第一个排列的集合 K 自然数。对于任何排列 $ pi以p $, 有一个逆置换 $ pi ^ { -  1} $ such that[eq9] 为了 $ k = 1,ldots,k $. If  $ pi $ 通过执行一系列来获得 transpositions , 然后 $ pi ^ { -  1} $ 通过以相反的顺序执行相反的换位来获得。因此, 换位的数量是相同的,因此我们有那个 [eq10] 经过 使用逆置换的概念,决定因素 $ a ^ {op} $ 可以很容易地计算为 follows:[eq11] 在哪里: in step $ rame {a} $ we have used the definition of transpose;在步骤中 $ rame {b} $ we have set [eq12] 而且,因此, [eq13].

具有零行或列的矩阵的决定因素 is zero

以下财产虽然非常直观,通常用于证明其他人 决定因素的性质。

主张 Let A 是一个方形矩阵。如果 A 具有零行(即,其条目全部等于零的行)或零 column, then[eq14]

证明

可以通过使用此属性来证明 definition of determinant[eq15] 为了 every permutation  $ pi $ , we have that[eq16]因为 该产品包含每行(列)的一个条目,但其中一个行 (列)仅包含零。 Therefore,[eq17]

奇异矩阵的决定因素为零

我们现在将陈述最重要的属性之一 determinant.

主张 Let A 是一个方形矩阵。然后 A is invertible if and only if [eq18] 和 如果只有,它是单数的 [eq17]

证明

矩阵 A is row equivalent to a unique matrix  $ r_ {a} $ in reduced row echelon form (RREF). Since A and  $ r_ {a} $ 是相当,我们有 that[eq20] 在哪里 [eq21] are 初级 matrices. Moreover, by the properties of the 基矩阵的决定因素, 我们有 that[eq22] 但 基本矩阵的决定簇与零不同。 Therefore,[eq23] 在哪里  $ C $ 是非零常数。如果 A is invertible,  $ r_ {a} $ 是身份矩阵和 [eq24] 如果 A is singular,  $ r_ {a} $ 具有至少一个零行,因为没有零的唯一方形rref矩阵 行是标识矩阵,后者仅是行等同 非奇异基质。我们已经证明,上面具有零行的矩阵 有零决定簇。因此,如果 A is singular, [eq25] and[eq26] 到 总而言之,我们证明所有可逆矩阵都有非零的决定因素, 并且所有奇异矩阵具有零决定簇。由于矩阵是 可逆或单数,两个逻辑含义(“如果且只有if”) follow.

产品的决定因素等于决定簇的产物

下一个命题表明,两个矩阵产物的决定因素 等于其决定因素的产物。

主张 Let A and  $ b $ be two $ kimes k $ matrices. Then,[eq27]

证明

如果两个矩阵中的一个是单数 (即,不是全级别),然后是他们的产品  $ ab $ is singular because[eq28] 作为 在题为题为讲座中解释 Matrix product and rank。所以, [eq29] 和 at least one of [eq30] or [eq31] is zero, so that[eq32] 因此, 如果两个矩阵中的至少一个,则主题中的陈述是真实的 是单数。如果它们都不是单数,那么 我们可以将它们写为产品 elementary matrices:[eq33] 在哪里 [eq21] and [eq35] 是基质矩阵。自从初级产品的决定因素以来 矩阵等于他们的决定因素的产品,我们有 that[eq36] 因此, 我们证明了主张中的发言也是如此 当两个矩阵是非奇异的时。

逆的决定因素

以前的命题允许容易地找到逆的决定因素 of a matrix.

主张 Let A be a $ kimes k $ invertible matrix. Then,[eq37]

证明

自从 [eq38] 我们 have that[eq39] 但 产品的决定因素等于产品 determinants:[eq40][eq41] 作为 a consequence,[eq42]此外, 可逆性矩阵的决定因子与零不同,因此我们可以 将上方的等式的两侧分开 [eq43] and obtain[eq44]

将矩阵乘以标量的效果

这个分段呈现出易于证明的主张 multiplication 标量的矩阵。在阅读证据之前,尝试证明它 你自己是一个运动。

主张 Let A be a $ kimes k $ 矩阵。然后,对于任何标量  $ C $ ,[eq45]

证明

通过使用很容易证明该命题 the definition of determinant.[eq46]

将行或列乘以标量的效果

此属性类似于前一个。

主张 Let A be a $ kimes k $ matrix. Let  $ C $ be a scalar. Let  $ b $ 是从中获得的矩阵 A 通过将行(或列)乘以  $ C $ . Then, [eq47]

证明

假设这一点  $ j $ - 行已乘以  $ C $ . By the definition of determinant:[eq48] 如果 instead the  $ j $ - 列乘以  $ C $ , 相同的结果保持,因为转置不会改变决定簇。

行和列中的线性

决定簇是矩阵的行和列中的线性。

主张 Let A be a $ kimes k $ matrix. Denote by $ a_ {j ullet} $ the  $ j $ - row of A. Suppose[eq49] 在哪里  $ F $. and  $ g $ are two $ 1 k $ vectors and $ lpha $ and $ eta $ 是两个标量。表示 $ a ^ {f} $ 从中获得的矩阵 A by substituting $ a_ {j ullet} $ with  $ F $. . Denote by $ a ^ {g} $ 从中获得的矩阵 A by substituting $ a_ {j ullet} $ with  $ g $ . Then,[eq50]

证明

通过决定因素的定义,我们 have[eq51]

主张 Let A be a $ kimes k $ matrix. Denote by $ a_ {ullet j} $ the  $ j $ - column of A. Suppose[eq52] 在哪里  $ F $. and  $ g $ are two Kx1 vectors and $ lpha $ and $ eta $ 是两个标量。表示 $ a ^ {f} $ 从中获得的矩阵 A by substituting $ a_ {j ullet} $ with  $ F $. . Denote by $ a ^ {g} $ 从中获得的矩阵 A by substituting $ a_ {j ullet} $ with  $ g $ . Then,[eq53]

证明

这是之前的结果 命题(列中的线性)以及换位的事实 不改变决定因素。

决定因素和Lu分解

计算一个最简单和更方便的方法之一 square matrix A is based on the LU decomposition[eq54] 在哪里  $ p $. ,  $ l $ and  $ U $ are a permutation matrix , 一种 分别下三角和上三角矩阵。我们可以 write[eq55] 和 the determinants of  $ p $. ,  $ l $ and  $ U $ are easy to compute:

如何引用

请引用:

Taboga, Marco (2017). "决定因素的性质", Lectures on matrix algebra. //www.enerxy-china.com/matrix-algebra/determinant-properties.

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