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块矩阵的决定因素

经过 ,博士学位

如果可以轻松处理,则线性代数的许多证明都非常简化 with the determinants 块矩阵,即细分为块的矩阵 themselves matrices.

目录

块矩阵审查

A block matrix (also called 分区矩阵)是一个矩阵 kind[eq1] 在哪里 A,  $ b $ ,  $ C $ and  $ d $ 是矩阵,称为块,使得:

理想情况下,通过切割矩阵来获得块矩阵两次:一个 垂直和水平。每个结果的块中的每一个都是块。

例子 The matrix[eq2] 能够 写作块 matrix[eq3] 在哪里 [eq4]

例子 The matrix[eq5] 能够 写作块 matrix[eq3] 在哪里 [eq7]

关于块矩阵的重要事实是 their multiplication 可以按照它们的块是标量来进行,使用标准 rule for matrix multiplication:[eq8]

唯一的警告是乘法乘法的所有块(例如,  $ ae $ ,  $ bg $ ,  $ ce $ ) 必须是可符合的。例如,列的数量 A 和行的数量 E must coincide.

具有身份块的块对角线矩阵的决定因子

第一结果问题涉及块矩阵 form[eq9] 或者 [eq10] 在哪里 I denotes an identity matrix, 0 是一个矩阵,其条目是零的 A is a square matrix.

调用其非对角线块的块矩阵 块对角线,因为它们的结构类似于 diagonal matrices.

不仅上面的两个矩阵是块对角线,而是其对角线之一 块是一个身份矩阵。我们会打电话给他们 块对角线 具有身份块的矩阵.

以下主张持有。

主张 Let  $ Gamma $ 是两个块对角线矩阵之一,具有上面定义的身份块。 Then,[eq11]

证明

我们首先建立案件的结果 in which[eq12] and I is  $ 1 $ 1 $ , that is, $I=1$. Suppose A is  $ kimes k $ . Then  $ Gamma $ is [eq13]. 我们使用的定义 determinant[eq14] 在哪里  $ p $. 是所有第一个排列的集合 $K+1$ 自然数。期限 [eq15] 与0不同,特别是等于1的时间 [eq16]. Furthermore, the sign of the permutations 在 which [eq16] 只能确定 [eq18] because [eq19] 不确定任何反转。因此,我们 have[eq20] 在哪里  $ q $ 是所有第一个排列的集合 K 自然数。结果的结果 I is not  $ 1 $ 1 $ 递归证明。例如,如果 I is  $ 2 $ 2 $ , we have[eq21] 和 类似地尺寸更大。证明是第二种情况,在 which[eq10] 是 类似于刚提供的那个。

块三角矩阵的决定因素

块 - 上三角矩阵是矩阵 form[eq23] 在哪里 A and  $ d $ are square matrices.

主张 Let  $ Gamma $ 如上所定义的,是一个块 - 上三角矩阵。 Then,[eq24]

证明

假设 A is  $ kimes k $ and  $ d $ is  $ limes l $ , so that  $ b $ is  $ kimes l $ and 0 is  $ limes k $ . 在下面的情况下,我们将表示 [eq25] a  $ kimes k $ 身份矩阵和 [eq26] an  $ limes k $ zero matrix. Note that[eq27] 因此, [eq28] 在哪里: in step  $ rame {a} $ 我们使用了方形矩阵产品的决定因素是 等于他们的决定因素的产物;在步骤中  $ rame {b} $ 我们使用了块对角线矩阵的决定因子的结果 先前证明的身份块和事实 that[eq29] 因为 我们正在处理具有相同的所有对角线条目的三角矩阵 to 1; in step  $ rame {c} $ 我们使用了身份矩阵的决定因素等于 1.

块下三角矩阵是矩阵 form[eq30] 在哪里 A and  $ d $ are square matrices.

主张 Let  $ Gamma $ 是如上定义的块下三角矩阵。 Then,[eq31]

证明

假设 A is  $ kimes k $ and  $ d $ is  $ limes l $ , so that  $ C $ is  $ limes k $ and 0 is  $ kimes l $ . 在下面的情况下,我们将表示 [eq32] a  $ kimes k $ 身份矩阵和 [eq26] an  $ limes k $ zero matrix. Note that[eq34] 因此, 与之前的类似 proof,[eq35]

一般案件

我们现在可以通过使用上述结果来证明一般情况。

主张 Let  $ Gamma $ 是一个块矩阵 form[eq36] 在哪里 A and  $ d $ 是方形矩阵。如果 A is invertible, then[eq37]

证明

正如讲座所证明的那样 Schur complements , 如果 A 是可逆的,矩阵  $ Gamma $ can be factorized as[eq38] 根据 到以上结果块三角矩阵的决定因素,我们 have[eq39] 所以, [eq40]

主张 Let  $ Gamma $ be as above. If  $ d $ is invertible, then[eq41]

证明

正如Schur的讲座所证明 complements, if  $ d $ 是可逆的,矩阵  $ Gamma $ can be factorized as[eq42] 根据 到以上结果块三角矩阵的决定因素,我们 have[eq43] 所以, [eq44]

解决练习

下面可以找到一些练习解释的解决方案。

练习1

使用块矩阵的决定因素的规则来计算决定因素 of the matrix [eq45]

解决方案

矩阵是块更低的 triangular:[eq46] 在哪里 [eq47] 所以 [eq48]

如何引用

请引用:

Taboga, Marco (2017). "块矩阵的决定因素", Lectures on matrix algebra. //www.enerxy-china.com/matrix-algebra/determinant-of-block-matrix.

这本书

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