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矩阵的决定因素

经过 ,博士学位

The determinant of a square matrix 是一个数字,提供了有关的许多有用信息 matrix.

其定义不幸的是不是非常直观。它来自于 摘要原则,旨在满足一定的目的 数学需要。因此,在给予决定因素的定义之前,我们 解释数学需求是什么。

目录

了解线性变换如何变化卷

Consider the linear space  $ s $ of all $ 2倍1美元 真正的矢量。空间可以表示为笛卡尔平面。矢量  $ sin s $ 可以表示为飞机中的一个点,谁的 x- and  $ y $ -协调 是第一个和第二个条目  $ s $ respectively.

Let $ t_ {1}子集S $ 是一组矢量,使得笛卡尔平面中的对应点 形成一个区域可以测量并等于的区域 $ lpha _ {1} $.

Now, take a $ 2 $ 2 $ matrix A and define the set[eq1]

换句话说,我们使用方矩阵 A 线性地转换集合中的所有向量  $ t_ {1} $ . 由此产生的线性变换在新集中  $ t_ {2} $ .

在笛卡尔空间,点数  $ t_ {2} $ 形成一个区域等于的区域 $ lpha _ {2} $.

我们问以下问题:我们可以派生这个区域吗? $ lpha _ {2} $ from $ lpha _ {1} $ and A?

事实证明,有一个数字,称为决定因素 A and denoted by [eq2], that satisfies[eq3] 那 是,当我们将原始区域的区域乘以决定因素时,我们 获得变换区域的区域。

重要的是,该数量仅取决于 A and not on  $ t_ {1} $ 及其地区。由...定义的线性变换 A transforms 任何 区域是一个新的地区的区域 [eq4] 乘以原始区域的区域。

当我们添加一个维度并考虑空间  $ s $ of $ 3 $ 1 $ 真正的矢量,我们做出了明显的变化:我们不再在笛卡尔 飞机,但在三维空间;矩阵 A 用于执行线性变换是一个 3美元3美元 矩阵;决定因子是允许计算的缩放因子 线性变换区域的卷。

In K - 一维 spaces (for $K>3$ ), 有概念的概念和线性变换的概念 are defined by $ kimes k $ 矩阵,但决定因素扮演相同的角色:它充当了 卷的缩放因子。

签名卷

我们已经讨论了卷以及它们如何通过线性变换来缩放, 但我们省略了一个重要细节:讨论决定因素时,我们交易 签名卷,即积极或负面的卷, 取决于体积的区域的太空中的方向 测量。因此,决定簇也可以是正面的或阴性的, 取决于线性变换是否保留或逆转 形状的方向。

因为很难得到直观的掌握签名的概念 音量,我们将用以下情节说明它。

六个图,说明线性变形的决定因素有助于了解转换如何改变形状的签名量

左上角的笛卡尔平面代表原始线性 空间。一组点  $ t_ {1} $ 以蓝色(圆形箭头)描绘。另外五个飞机代表集 of points  $ t_ {2} $ 已经通过应用不同的线性变换来获得  $ t_ {1} $ 用不同的矩阵 A:

例如,可以通过组合执行更多的线性变换 上面的图中所示的基本变换。但是,原则 保持相同:如果与矩阵相关的线性变换 A 然后不会改变圆形箭头的方向 [eq5]; 如果它改变方向,那么 [eq6] 如果箭头扁平(失去一个维度),那么 [eq7].

公理方法

在下一节中,我们将提供决定因素的定义 实际上提供了一种计算来自元素的决定因素的方法 A. 这一定义是由采取以下内容的数学家派生的 steps:

  1. 他们发现了一些简单的属性,这是由卷满足的 线性变换区域(例如,如果线性变换加倍 矩形的上边缘和下边缘,留下左边和右边缘 不变,那么矩形的面积倍增;因此, 线性变换的缩放因子必须是 $2$ );

  2. 它们施加了这些属性作为决定因素应该满足的公理;

  3. 他们证明了满足公理的数字存在并且是独一无二的;

  4. 他们发现了一种计算它的公式,可以用作其定义。

有关此公理方法的更多详细信息,您可以参考美丽 treatment by Schneider and Barker (1989).

决定簇的定义

我们现在准备提供了决定因素的正式定义。

定义 Let A be a $ kimes k $ matrix. Let  $ p $. 是第一个可能的所有可能排列的集合 K natural numbers [eq8] 这 determinant of A, denoted by [eq9] or by [eq10], is[eq11]

为了完全理解这种定义,您需要熟悉 concepts of permutation and 排列的标志.

A permutation  $ pi $ is an ordering of 1美元,LDOTS,K $. 置换的元素表示为 [eq12]. The number [eq13] is either 1 or $-1$ 取决于置换(偶数或奇数)的奇偶校验。

The product [eq14] 是 over K 矩阵的条目 A. For each row $ k = 1,ldots,k $, 我们选择位于列中的条目 [eq15]. 请注意,选择了一个选择的条目 [eq16] 在每个列和行中。

The sum $ sum_ {pi in p} $ is over the set  $ p $. 所有可能的排列  $ pi $ .

2x2矩阵的决定因素

让我们将定义应用于a的情况 $ 2 $ 2 $ matrix A.

前两个自然的集合有两种可能的排列 numbers:[eq17]

没有反转  $ pi _ {1} $ , 所以它的平价甚至是 and[eq18]

有一种反转 $ pi _ {2} $ , so its parity is odd and[eq19]

已经建立了这些事实,我们可以计算决定者 A:[eq20]

例子 Define the matrix[eq21] 它的 determinant is[eq22]

3x3矩阵的决定因素

现在让我们解决这个问题 3美元3美元 matrix A.

这套六种可能的前三种自然释放 数字。我们将它们报告在下面,以及反转数量和 他们的标志(派生它们作为练习 - 修改讲座 如果你找到任何折射的迹象 difficulties):[eq23]

Therefore,[eq24]

解决练习

下面可以找到一些练习解释的解决方案。

练习1

找到决定因素 matrix[eq25]

解决方案

我们可以应用公式 determinant of a $ 2 $ 2 $ matrix found above[eq26]

练习2

用于在左下方的左下方进行反射的矩阵 figure above is [eq27] 证明 that [eq28].

解决方案

我们有 [eq29]

参考

Schneider,H.和Barker,G. P.(1989) Matrices and linear algebra,多佛出版物。

如何引用

请引用:

Taboga, Marco (2017). "矩阵的决定因素", Lectures on matrix algebra. //www.enerxy-china.com/matrix-algebra/determinant-of-a-matrix.

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