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循环子空间

经过 ,博士学位

在线性代数中,周期是获得线性独立矢量的串 通过将往返机的增加力施加到单个载体;循环 子空间是循环跨行的子空间。

在这篇讲座中,我们专注于由此获得的周期和循环子空间 应用尼泊洛经营者。

目录

尼利诺运营商

Let $ s $ be a vector space.

Remember that a linear operator $ f:s
ighararow s $ is said to be nilpotent of index k if and only if[eq1]为了 any $ sin s $[eq2]为了 at least one vector $ sin s $.

Clearly,[eq3][eq4] where $ qtr {rm} {null} $ denotes the null space of an operator and $子集$ 表示严格纳入。

定义

这是一个周期的正式定义。

定义 Let $ s $ 是矢量空间和 $ f:s
ighararow s $ 一个尼利线性运算符。让 $ sin s $ 是一个非零矢量。让 $ l $ 是最大的非负整数,以便 [eq5]. Then, the set[eq6]是 称为由此产生的循环 $ s $. The vector $ s $ 被称为循环的初始向量。子空间 spanned 经过 the cycle, that is,[eq7]是 称为由此生成的循环子空间 x.

Note that [eq8] and the cycle has $ l $ 元素。循环的元素数量称为 cycle.

另请注意,假设 $ F $. 尼利斯保证了这一点 $ l $ exists (because $ l $ 最多可以等于索引 k of $ F $.)。 结果,周期是明确定义的。

在遵循的情况下,我们称之为从尼利普特运营商获得的循环 $ F $. an $ F $.-循环 如果我们想强调特定的运营商 $ F $. 用来获得循环。

找到一个零矢量足够了

我们如何找到最大的整数,以便 [eq9]?

换句话说,我们如何确定循环的长度?

答案很简单:我们从 $ s $ 我们计算越来越大的权力: $ flutft(s
Ight)$, [eq10], ....我们第一次获得零载体,我们停止。事实上,如果 [eq11]然后[eq12]为了 any integer $ jgeq 0 $.

换句话说,一旦我们遇到第一个零载体,那么我们就知道它 将后是所有零vectors。这也意味着周期包含 没有零载体(在下一节中正式证明)。

我们还可以改变定义并说明周期的长度 $ l $ 是最小的非负整数,使其如此 [eq13].

例子 Let $ s $ be the space of $ 3 $ 1 $ vectors。考虑由此定义的尼泊洛映射 [eq14]在哪里 [eq15]这 mapping is nilpotent because[eq16]考虑 the vector [eq17]然后, we have[eq18]因此, the cycle of length $2$ generated by $ s_ {1} $ is[eq19]现在, 考虑另一个载体 [eq20]然后, we have[eq21]因此, the cycle of length $3$ generated by $ s_ {2} $ is[eq22]

循环的所有载体都是非零的

作为一项运动,我们建议尝试严格证明以下简单 结果(在读取证明之前)。

主张 循环的所有载体都是非零的。

证明

证据是矛盾的。假设 [eq23] for $ jleq l $ (where $ l $ 是循环的长度)。 Then,[eq24]自从 任何线性操作员将零向量映射到自身。这相矛盾 假设循环具有长度 $ l $ (hence [eq25])。

周期是线性独立的集合

第一个重要结果涉及循环的线性独立性。

主张 Let $ s $ be a vector space, $ f:s
ighararow s $ 尼利菜线性运算符, $ sin s $ 非零矢量和 $ cleft(s
Ight)$ a cycle of length $ l $ generated by $ s $. Then, $ cleft(s
Ight)$ is a linearly independent set.

证明

由于循环的长度是 $ l $, then [eq26] and[eq27]为了 any integer $ jgeq 0 $. 假设存在标量 [eq28] such that[eq29]经过 applying $ f ^ {l-1} $ 到了等式的两侧,我们获得了 [eq30]哪个 implies $ a_ {0} = 0 $ (since [eq31])。 Thus, the equation becomes[eq32]经过 applying $ f ^ {l-2} $ 我们的平等双方,我们 obtain[eq33]哪个 implies $ a_ {1} = 0 $. Hence, the equation becomes[eq34]我们 继续以这种方式继续,直到我们证明这一点 [eq35], which proves that [eq36]是 线性独立的集合。

循环表

在一起使用多个周期时,通常可以方便使用 所谓的循环表。

假设我们有三个不同的载体 $ s_ {1} $, $ s_ {2} $ and $ s_ {3} $, 它产生三个周期 [eq37]拥有 lengths $4$, $2$ and 1 respectively.

涉及三个循环的所有载体的线性组合 is[eq38]在哪里 系数的第一个下标用于索引三种不同 循环和第二个用于索引尼利斯的权力 operator.

一个循环Tableau是一个表,其中包含线性的所有汇总 combination[eq39]在哪里 每个周期都写在不同的行,始终从最左边开始 column.

When we apply $ f ^ {j} $ 对于Tableeau的所有元素,第一个元素 $ j $ 左侧的列变为等于零。

例如,如果我们申请 $ F $. 到了Tableau的元素,我们得到了 [eq40]

但是,通过定义周期的长度(另见证明 上一节),我们有 [eq41]

Thus, the tableau becomes[eq42]或者, simply,[eq43]

If we instead apply $ f ^ {2} $ 到原来的Tableau,我们 get[eq44]

工会周期

关于线性独立的另一个有用的结果。

主张 Let $ s $ 是矢量空间和 $ f:s
ighararow s $ 一个尼利线性运算符。让 [eq45] 是非零载体,产生循环 [eq46] of lengths [eq47]. If the set[eq48]是 线性独立,然后也是 set[eq49]是 线性独立。

证明

假设存在标量 $ a_ {mu lambda} $ ($ mu = 1,ldots,m $ and [eq50]) such that[eq51]笔记 (1)中的线性组合包括集合的所有向量 $ C $. 在循环Tableau中安排线性组合的所有汇总。认为 that there are $ l $ Tableau中的列(这意味着最长链的长度是 equal to $ l $)。 Then, we apply $ f ^ {l-1} $ 到等式(1)和Tableau的所有元素,所以我们留下来 单个非零列。通过假定的线性独立性,所有的标量 在该列中必须等于零,该列可以从中删除 原始的Tableau。因此,我们有一个新的Tableau $l-1$ 列(最右边的列)。然后,我们迭代地申请 [eq52]. 在每次迭代时,我们获得了线性组合的一些系数 零零,我们可以删除另一列。到底,我们得到了所有的 线性组合的系数为零,这意味着该集合 $ C $ 是线性独立的。

证据中概述的迭代完全显示在下一个示例中。

例子 让我们继续在循环上的上述部分中显示的相同示例 表格。我们需要表明这一点 [eq53]暗示 线性组合的所有系数等于零, provided that [eq54], [eq55] and [eq56] 是线性独立的。起始的画面 is[eq57]这 最长循环的长度是 $l=4$. 所以,要开始,我们申请 $ f ^ {l-1} = f ^ {3} $ 到所有的召唤。结果,我们 obtain[eq58]或者[eq59]哪个 implies that $ a_ {1,0} = 0 $ (because [eq60])。 因此,我们可以放弃最后一列和Tableau becomes[eq61]我们 now apply $ f ^ {l-2} = f ^ {2} $ 到所有的召唤。结果,我们 obtain[eq62]或者[eq63]哪个 implies that $ a_ {1,1} = 0 $. We can drop another column:[eq64]经过 applying $ f ^ {l-3} = f ^ {1} $, we get[eq65]哪个 implies $ a_ {1,2} = a_ {2,0} = 0 $ 通过假设的线性独立性。最终的Tableau. is[eq66]我们 让它保持不变(或者,这是相同的,我们应用身份运营商 $ f ^ {l-4} = f ^ {0} $)。 Thus,[eq67]哪个 implies [eq68] 通过假设的线性独立性。这是最后一步,证明了这一点 周期的联盟是

非重叠的工会

当两个或更多次循环的结合形成线性独立的集合时,我们呼叫 它是一个非重叠的周期联盟。

定义 Let $ s $ 是矢量空间和 $ f:s
ighararow s $ 一个尼利线性运算符。让 [eq69] 是非零载体,产生循环 [eq70]. The set[eq71]是 如果才被称为非重叠的循环联盟,且仅在它是线性的 independent.

下一个命题是为什么周期理论为此的关键原因 important.

主张 Let $ s $ 是一个有限维矢量空间和 $ f:s
ighararow s $ 一个尼利线性运算符。然后,存在一个非重叠的联盟 $ F $.-Cycles. that is a basis for $ s $.

证明

证明是诱导的 dimension of $ s $, 这等于其基地的任何一个的元素数量。为了 [eq72], $ F $. 是零映射(如讲座所证明的) 尼泊比 matrices)。因此,我们 可以选择任何非零 $ sin s $, and $ s $ is both a basis for $ s $ 和一个长度的循环(因为 [eq73]), 这漫步构成了非重叠循环的联盟。现在假设 这个命题适用于所有维度的空间 $n-1$ 或更少。让我们考虑一个空间 $ s $ such that [eq74]. 有两种可能的情况:1) $ qtr {rm} {null} f = s $; 2) [eq75]. In case 1) $ F $. 是零运算符(每个矢量映射到零)和任何基础 $ b $ of $ s $ 是一个非重叠的周期联盟,因为 [eq76] for any $ sin s $, so that any $ bin b $ 自身构成一个循环。在案例2),限制 $ F $. to $ qtr {rm} {范围} f $ 是一个尼利普特经营者(记住这一点) ranges are invariant;因此, the restriction [eq77] 确实是运营商)。而且, [eq78] 因为尼利者的运营商不能拥有 full rank。作为结果, 有一个非重叠的联盟 [eq79]-Cycles. that spans $ qtr {rm} {范围} f $. 假设联盟 is[eq80]在哪里 [eq81]. By the definition of $ qtr {rm} {范围} f $, there exist vectors [eq82] such that[eq83]我们 can use the vectors [eq84] 延长周期并定义新的周期联盟 [eq85]哪个 以前的主题对线性独立性的主张是非重叠的 工会的周期。假设循环的长度 [eq86] are [eq87]. The vectors [eq88]是 线性独立和属于 $ qtr {rm} {null} f $ (作为各自循环中的最终向量)。如果他们没有形成一个 basis for $ qtr {rm} {null} f $, 我们可以找到线性独立的 vectors[eq89]属于 to $ qtr {rm} {null} f $ 完成基础。而且, [eq90] for [eq91]. 作为后果,新发现的载体是由自己的循环形成的 length 1. 它们也是线性的独立于发现的最终循环的载体 previously. Therefore,[eq92]是 非重叠周期的联盟。属于的向量数量 $ C $ is[eq93]经过 the rank-nullity theorem. Therefore, $ C $ contains [eq94] 线性独立的向量属于 $ s $. As a consequence, $ C $ is a basis for $ s $.

最小的多项式和矩阵索引

现在我们了解周期,我们可以进一步磨练我们的理解 minimal polynomials.

Remember that the minimal polynomial 尼利斯矩阵 A of index k is[eq95]在哪里 k 是矩阵的尼利率指数,以及之后最小的电力 哪个零点的空间 A stop growing.

我们现在可以提供另一种特征。

主张 Let $ s $ be the space of Kx1 vectors. Let A be a $ kimes k $ 指数的零售矩阵 k. Then, k 是由尼利波特运算符定义的最长循环的长度 by A.

证明

自从 $ a ^ {k} = 0 $, 没有循环可能超过 k. 但是,必须至少有一个长度的长度 k. 为了证明它,认为所有循环的长度少于 k. 然后,它必须是那个 $ a ^ {k-1} s = 0 $ for any $ s $. 但这意味着 A 不能拒绝指数 k.

解决练习

下面可以找到一些练习解释的解决方案。

练习1

Let $ s $ 是矢量空间和 $ f:s
ighararow s $ 一个尼利线性运算符。

假设四个不同的载体 $ s_ {1} $, $ s_ {2} $, $ s_ {3} $ and $ s_ {4} $ generate four cycles [eq96]拥有 lengths $4$, $2$, $2$ and 1 respectively.

考虑属于四个周期的所有矢量的线性组合 (其中一般汇总的系数 [eq97] is $ a_ {mu .lambda} $)。

使用循环表格表示线性组合。发生了什么 当我们申请时,Tableau $ F $. 到线性组合?

解决方案

一种涉及所有的线性组合 四个周期的载体 is[eq98]书面 在一个循环的tableau,组合 is[eq99]经过 applying $ F $. 对于Tableau的所有元素,我们得到了 [EQ100]经过 考虑到Tableau中所代表的各种循环的长度,我们 obtain [EQ101]因此, the tableau becomes[EQ102]或者, by pruning the zero column,[EQ103]

练习2

Let $ s $ be the space of $ 3 $ 1 $ vectors。考虑由此定义的尼泊洛映射 [EQ104]在哪里 [EQ105]找 生成的循环的长度 by[EQ106]

解决方案

循环的第一个向量是 $ s $ 本身。第二个矢量 is[EQ107]这 third vector is[EQ108]这 next one is[EQ109]所以, 循环的长度是 $3$.

如何引用

请引用:

Taboga, Marco (2017). "循环子空间", Lectures on matrix algebra. //www.enerxy-china.com/matrix-algebra/cyclic-subspace.

这本书

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