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坐标矢量

经过 ,博士学位

我们之前提供过 two 矢量空间的定义:

我们还解释说,更简单的非正式定义是完美的 与更正式的定义兼容,作为一组数字阵列 提供了矢量空间的所有属性,只要向量添加 和标量乘法以通常的方式定义,并且该集合是 关于线性组合关闭。

我们现在介绍一个新的概念,坐标向量,这使得 两个定义几乎等效:如果我们正在处理抽象矢量 空间,但其维度是有限的,我们能够识别依据 空间,然后我们可以将每个矢量写入基础的线性组合;作为 结果,我们可以将矢量表示为阵列,称为坐标 矢量,包含线性组合的系数。一旦我们有 获得了这个简单的表示,我们可以应用矩阵的通常规则 代数到坐标向量,即使我们正在处理摘要 矢量空间。不仅这是非常方便的,而且它会对差异进行筛选 在两个方法之间定义向量和向量空间(至少为 有限尺寸的情况)。

目录

定义

我们现在准备好了解坐标向量的定义。

定义 Let $ s $ 是一个有限的线性空间。让 [eq1] be a basis for $ s $. For any $ sin s $, 采取独特的 n scalars [eq2] such that[eq3]然后, the Kx1 vector[eq4]是 called the 坐标矢量 of $ s $ 关于基础 $ b $.

注意,标量的唯一性 [eq5] is guaranteed by the uniqueness of 基础上的表示.

例子 Let $ s $ 是矢量空间和 [eq6] 依据它。假设一个矢量 $ sin s $ 可以写成基础的线性组合 follows:[eq7]然后, 坐标向量 $ s $ with respect to $ b $ is[eq8]

例子 Consider the space $ p $. of second-order polynomials[eq9]在哪里 the coefficients $ p_ {0},p_ {1},p_ {2} $ and the argument $ z $ 是标量。正如我们在讲座中讨论的那样 线性 spaces, $ p $. 是一个矢量空间,提供了多项式和它们的添加 按规划乘法以通常的方式执行。考虑到这一点 polynomials[eq10]这些 三个多项式形成一个基础 [eq11] for $ p $. because they are linearly independent (它们的组合等于任何零 $ z $) 它们可以是线性结合的,以便获得任何 $ pleft(z
Ight)$ of the form above:[eq12]这 coordinate vector of $ pleft(z
Ight)$ 关于我们刚发现的基础 is[eq13]

添加坐标向量

可以通过执行通常进行两个向量的添加 operation of 向量 addition on 他们各自的坐标向量。

主张 Let $ s $ 是一个线性空间和 [eq14] a basis for $ s $. Let $ s,tin s $. 然后,坐标向量 $ s + t $ 关于基础等于坐标向量的总和 $ s $ and $ t $ 关于相同的基础,那 is,[eq15]

证明

假设陈述 the basis are[eq16]所以 坐标向量 are[eq17]经过 矢量添加和标量的换向和分配特性 在抽象矢量空间中的乘法,我们有 that[eq18]因此, 坐标向量 $ s + t $ is[eq19]

坐标向量的标量乘法

可以通过执行来执行标量的矢量乘法 通常的操作 multiplication by a scalar 在其坐标矢量。

主张 Let $ s $ 是一个线性空间和 [eq14] a basis for $ s $. Let $ sin s $ and let $ lpha $ 是一个标量。然后,坐标向量 $ lpha s $ 关于基础等于产品的基础 $ lpha $ 和坐标向量 $ s $, that is,[eq21]

证明

假设关于的代表 basis is[eq3]所以 坐标矢量 is[eq23]经过 标量乘法的关联和分布属性 抽象矢量空间,我们有 that[eq24]因此, 坐标向量 $ lpha s $ is[eq25]

数字阵列是相对于的坐标向量 the canonical basis

当线性空间的元素时 $ s $ 是数字数量的数量(矢量,在最简单的意义上 术语),然后它们与它们相对于它们的坐标向量重合 standard basis。例如,让 $ s $ be the space of all Kx1 column vectors. Let [eq26] 是它的规范基础,在哪里 $ e_ {k} $ 是一个矢量的传感器 0, except the k - which is equal to 1: [eq27]拿 any [eq28]然后, $ s $ 与其坐标向量相同的基础 [eq29], that is,[eq30]因为 [eq31]

解决练习

下面可以找到一些练习解释的解决方案。

练习1

Let $ p $. 是所有三阶多项式的矢量空间。进行添加 two polynomials[eq32][eq33]经过 使用它们的坐标向量相对于 basis[eq34]查看 结果与两个多项式相同,结果是相同的 directly.

解决方案

基础上的陈述 [eq35] are[eq36]因此, 两个坐标向量 are[eq37]他们的 sum is[eq38]所以 that[eq39]这 与执行此外的结果是相同的结果 directly:[eq40]

练习2

Let $ s $ be the space of all $ 2倍1美元 vectors。考虑这个基础 [eq41] where[eq42]找 坐标向量 [eq43]和 尊重给定的基础。

解决方案

我们有 that[eq44]所以, 坐标向量 $ s $ is[eq45]

如何引用

请引用:

Taboga, Marco (2017). "坐标矢量", Lectures on matrix algebra. //www.enerxy-china.com/matrix-algebra/coordinate-vector.

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