搜索Statlect上的概率和统计信息
统计 章程
指数 > Matrix algebra

补充子空间

经过 ,博士学位

如果他们的直接,据说矢量空间的两个子空间是互补的 总和给出了整个矢量空间。

目录

预备

Let  $ s $ be a linear space and $ s_ {1} $ and $ s_ {2} $ two subspaces of  $ s $ .

请记住,总和 $ s_ {1} + s_ {2} $ 是包含可以写成的所有向量的子空间作为a的ureds vector from $ s_ {1} $ 和另一个矢量来自 $ s_ {2} $:[eq1]

Moreover, $ s_ {1} + s_ {2} $ is said to be a direct sum和它 is denoted by $ s_ {1} oplus s_ {2} $, 只有在满足以下一项等效条件之一时:

定义

我们现在准备提供互补子空间的定义。

定义 Let  $ s $ 是一个线性空间。让 $ s_ {1} $ and $ s_ {2} $ be two subspaces of  $ s $ . $ s_ {1} $ 据说是互补的 $ s_ {2} $ if and only if[eq4]

如上所定义的互补性显然是对称的。如果 $ s_ {1} $ is complementary to $ s_ {2} $, then $ s_ {2} $ is complementary to $ s_ {1} $ 我们只能说 $ s_ {1} $ and $ s_ {2} $ are complementary.

Thus, when $ s_ {1} $ and $ s_ {2} $ 是补充,有一种独特的方式“分解”矢量 $ sin s $ into a component $ s_ {1}以s $ 和另一个组成部分 $ s_ {2}在s_ {2} $, 在哪里分解 is[eq5]

让我们看看一个简单的例子。

例子 Let  $ s $ be the space of all $ 2倍1美元 column vectors 。 让 $ s_ {1} $ be the space spanned 经过 the vector[eq6] 那 is, $ s_ {1} $ 包含所有标量倍数 $ e_ {1} $. Let $ s_ {2} $ 是跨越的空间 vector[eq7] 不 non-zero vector of $ s_ {2} $ 是矢量的标量倍数 $ s_ {1} $. Therefore, [eq8] and the sum $ s_ {1} + s_ {2} $ 是直接的总和。而且,任何 vector[eq9] 能够 be written as[eq10]在哪里 [eq11] and [eq12]. Thus, [eq13]哪个 means that $ s_ {1} $ and $ s_ {2} $ are complementary.

互补子空间不一定是独一无二的

互补子空间不一定是独一无二的。

例子 Let  $ s $ , $ s_ {1} $ and $ s_ {2} $ 如前一个例子。让 $ s_ {3} $ 是跨越的空间 vector[eq14] 不 non-zero vector of $ s_ {3} $ 是矢量的标量倍数 $ s_ {1} $. Therefore, [eq15] and the sum $ s_ {1} + s_ {3} $ 是直接的总和。而且,任何 vector[eq16] 能够 be written as[eq17]在哪里 [eq18] and [eq19]. Thus, [eq20]$S_{2}
eq S_{3}$, 这表明没有独特的互补子空间 $ s_ {1} $.

基础方面的特征

以下命题在互补子空间中表征 their bases.

主张 Let  $ s $ be a finite-dimensional linear space. Let $ s_ {1} $ and $ s_ {2} $ be two subspaces of  $ s $ . Then, $ s_ {1} $ and $ s_ {2} $ 如果只有,只有在任何情况下是互补的 basis [eq21] of $ s_ {1} $ and any basis [eq22] of $ s_ {2} $, their union $ bcup c $ is a basis for  $ s $ .

证明

让我们证明“只有”部分,开始 从假设中 $ s_ {1} $ and $ s_ {2} $ 是互补的。任何矢量图 $ sin s $ 可以是独一无二的 as[eq23]在哪里 $ s_ {1}在s_ {1} $ and $ s_ {2}在s_ {2} $. 此外,通过基础的代表的独特性, [eq24]在哪里 the scalars [eq25] are unique. Similarly,[eq26] 因此  $ s $ 有一个独特的代表 $ bcup c $:[eq27] 我们 建立了这一点 $ bcup c $ spans  $ s $ . 我们仍然需要证明它是线性独立的,以证明这一点 这是一个基础。认为 that[eq28] 自从 [eq29], it must be that[eq30][eq31] 自从  $ b $ and  $ C $ , 作为基础,是线性独立的集合,上面的两个方程暗示 [eq32] and[eq33]因此, 该集合矢量的唯一线性组合 $ bcup c $ 作为结果给出零向量,所有系数都等于零。这 means that $ bcup c $ 是线性独立的。因此, $ bcup c $ is a basis for  $ s $ . 我们现在可以证明“如果”部分,从假设开始,因为任何一个 bases [eq34] of $ s_ {1} $ and [eq35] of $ s_ {2} $, the union $ bcup c $ is a basis for  $ s $ . 任意选择两个基地(它们保证存在,因为我们有 assumed that  $ s $ 是有限的)。事实如此 $ bcup c $ is a basis for  $ s $ 意味着任何载体 $ sin s $ 可以是唯一的写作 linear combination [eq36] 自从  $ b $ is a basis for $ s_ {1} $, we have that[eq37][eq38]所以, any vector $ sin s $ 可以是唯一的代表 as[eq39]在哪里 $ s_ {1}在s_ {1} $ and $ s_ {2}在s_ {2} $. Thus, [eq29].

如何引用

请引用:

Taboga, Marco (2017). "补充子空间", Lectures on matrix algebra. //www.enerxy-china.com/matrix-algebra/complementary-subspace.

这本书

本网站上发现的大多数学习材料现在都以传统的教科书格式提供。