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特征多项式

经过 ,博士学位

方矩阵的特征多项式是多项式的 基质的特征值作为其根。

我们已经介绍了特征多项式 lecture on eigenvalues。在这里,我们更详细地研究其性质。

目录

定义

这是一个定义。

定义 Let A be a $ kimes k $ 矩阵。特征多项式 A is the polynomial[eq1]在哪里 I is the $ kimes k $ identity matrix.

这是一个简单的例子。

例子 Define the $ 2 $ 2 $ matrix[eq2]然后[eq3]所以, 特征多项式 A is[eq4]

程度

特征多项式是 monic (i.e., the 其最高功率的系数是 1) 其度等于矩阵的尺寸。

主张 Let A be a $ kimes k $ 矩阵。特征多项式 A 是一个人的多项式 K.

证明

通过使用该命令可以证明这一命令 definition of determinant[eq5]在哪里 $ p $. is the set of all permutations of the first K 自然数。因此, $裂(z
Ight)$ 是一项多项式的总和 form[eq6]这 这种形式的多项式具有最高程度的是其中所有的 factors [eq7] 是对角线元素 $ zi-a $. 它对应于排列 $ pi _ {0} $ in which the K 自然数量按越来越多的顺序排序。奇偶阶段 $ pi _ {0} $ 甚至是它的标志 [eq8]因为 它不包含任何反转(参见讲座 排列的标志)。 因此,求和度最高 is[eq9]哪个 has degree K 并且是蒙诗。所有其他概述的程度小于 K. Therefore, $ C $ has degree K and is monic.

持续的

成为一个单一的程度 K, 可以写入特征多项式 as[eq10]

Hence,[eq11]在哪里 最后的平等是一种后果 properties of the determinant.

痕迹

我们也有以下几个 property:[eq12]在哪里 [eq13] is the trace of A. 这个事实的证明可以在这个末尾的练习中找到 lecture.

代数的基本定理

通过代数的基本定理,度量的一个单一的程度 K 谁的系数是复杂的,可以在产品中被考虑 K 线性因素(修改 lecture on polynomials 如果你困惑)。结果是特征 多项式可以写成 as[eq14]在哪里 [eq15] are the roots of $裂(z
Ight)$, 也就是说,这样的值 that[eq16]

换句话说,特征多项式的根部是特征值 of A.

解决练习

下面可以找到一些练习解释的解决方案。

练习1

证明了上述索赔 that[eq12]

解决方案

我们已经看到了 特征多项式 $裂(z
Ight)$ is a sum of polynomials:[eq18]在哪里 $ pi $ 是第一个排列 K 自然数。我们已经看到只有一个召开 contains a $ z ^ {k} $ 术语,对应于释放 [eq19]. 这也是唯一包含a的概述 $ z ^ {k-1} $ 术语因为,一旦我们颠倒了两个数字的顺序 排列,两个对角线术语丢掉了产品 [eq20]因此, 我们只需要找到系数 $ z ^ {k-1} $ in the product [eq21]经过 扩展产品,我们可以看到所有的 $ z ^ {k-1} $ 术语是表格 [eq22]和 there are K such terms (for $ j = 1,ldots,k $)。 Therefore, [eq23]

如何引用

请引用:

Taboga, Marco (2017). "特征多项式", Lectures on matrix algebra. //www.enerxy-china.com/matrix-algebra/characteristic-polynomial.

这本书

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