搜索Statlect上的概率和统计信息
统计章程
指数 > Matrix algebra

拉普拉斯扩张,未成年人,辅助因子和伴侣

经过 ,博士学位

拉普拉斯扩展是一种允许表达的公式 矩阵的决定因素 作为较小矩阵的决定簇的线性组合,称为未成年人。 拉普拉斯扩展也允许写入 inverse of a matrix in terms of 它签署的未成年人称为Cofactors。后者通常收集在一个 矩阵称为伴随矩阵。

目录

未成年人

让我们首先定义未成年人。

定义 Let A be a $ kimes k $ matrix (with $ kgeq 2 $)。 Denote by $ a_ {ij} $ the entry of A 在交叉口 i - row and $ j $ - column. The minor of $ a_ {ij} $ 是从中获得的子矩阵的决定因素 A by deleting its i - row and its $ j $ - column.

我们现在用一个例子说明定义。

例子 Define the 3美元3美元 matrix [eq1]拿 the entry $ a_ {11} = 4 $. 通过删除第一行和第一列获得的子矩阵 is[eq2]因此, the minor of $ a_ {11} $ is [eq3]这 minor of $ a_ {23} $ is [eq4]

Cofactors.

一个辅助因子是一个次要的迹象,其标志可能已经改变了 相应矩阵条目的位置。

定义 Let A be a $ kimes k $ matrix (with $ kgeq 2 $)。 Denote by $ m_ {ij} $ 进入的未成年人 $ a_ {ij} $. The cofactor of $ a_ {ij} $ is[eq5]

作为一个例子,标志的模式变化 [eq6] of a $ 4 $ 4 $ matrix is[eq7]

例子 Consider the 3美元3美元 matrix [eq8]拿 the entry $ a_ {23} = 0 $. The minor of $ a_ {23} $ is [eq9]和 its cofactor is[eq10]

扩张

我们现在准备介绍拉普拉斯扩张。

主张 Let A be a $ kimes k $ matrix (with $ kgeq 2 $)。 Denote by $ c_ {ij} $ 进入的辅助因子 $ a_ {ij} $. Then, for any row i, 以下行扩展 holds:[eq11]相似地, for any column $ j $, 以下列扩展 holds:[eq12]

证明

让我们首先通过证明行 expansion[eq13]表示 by $ a_ {i ullet} $ the i - row of A. We can write[eq14]在哪里 $ e_ {j} $ is the $ j $ - 标准基础的矢量 $ u {211d} ^ {k} $, 这是一种矢量,使其 $ j $ - 条目等于1,所有其他条目等于0。现在,表示 $ a ^ {ij} $ 从中获得的矩阵 A by substituting its i - row with $ e_ {j} $:[eq15]我们 can write the i - row of A as a linear combination as follows:[eq16]自从 the 决定因素是线性的 each row, 我们有 that[eq17]现在, the matrix $ a ^ {ij} $ 可以转化为 matrix[eq18]经过 performing i row interchanges and $ j $ 柱式交换。因此,由此 properties of the 基矩阵的决定因素, 我们有 that[eq19]此外, 通过决定因素的定义,我们有 that[eq20]在哪里: in step $ rame {a} $ 我们已经使用了这个事实 换位没有 改变决定因素;在步骤中 $ rame {b} $ 我们已经使用了第一列的唯一非零条目的事实 $ b ^ {ij} $ 是第一个,所以 [eq21] for all [eq22] and [eq23] for [eq24]; in step $ rame {c} $ $ m_ {ij} $ is the minor of $ a_ {ij} $, 并且,通过查看结构 $ b ^ {ij} $ 上面,显然,在排除第一行和第一列之后 $ b ^ {ij} $ 从其决定因素的计算来看,我们正在计算一个决定因素 matrix obtained from A by deleting its i - row and its $ j $ - column. Thus, [eq25]在哪里 $ c_ {ij} $ is the cofactor of $ a_ {ij} $. 列扩展的证据是类似的。

换句话说,可以通过求和所有条目来计算决定因素 任意选择的行(列)乘以其各自的辅助因子。

例子 Define the matrix[eq26]我们 可以使用第一列的拉普拉斯扩展来计算其 determinant:[eq27]

例子 Define the matrix[eq28]我们 可以使用沿着第三行的拉普拉斯扩展来计算其 determinant:[eq29]

沿错误的行或列扩展

一个有趣和有用的事实是,当拉斯普拉斯扩张时 gives[eq30]我们 have[eq31]什么时候 $k
eq i$. 换句话说,如果我们乘以行的元素 i 与不同行的辅助因子 k 我们加起来,我们得到零。

证明

定义矩阵 $ b $ 谁的行都等于相应的行 A, except for the k - 哪个等于 i - row of A. Thus, $ b $ 有两个相同的行,结果是 singular 和 it has zero determinant. Denote by $ k_ {ij} $ the cofactor of $ b_ {ij} $. Then, [eq32]在哪里: in step $ rame {a} $ 我们已经使用了这个事实 i - row of A is equal to the i - row of $ b $; in step $ rame {b} $ 我们已经使用了这一事实,虽然是 k - row of A 是不同的 k - row of $ b $, we have that $ c_ {kj} = k_ {kj} $ because row k 在形成用于计算这些辅助耦合器的子矩阵时被取消。

相同的结果持有 columns:[eq33]什么时候 $k
eq i$. 证据类似于前一个。

Cofactor矩阵

我们现在定义Cofactor矩阵(或Cof​​actors的矩阵)。

定义 Let A be a $ kimes k $ matrix. Denote by $ c_ {ij} $ the cofactor of $ a_ {ij} $ (在上面定义)。然后,这 $ kimes k $ matrix $ C $ such that its $ left(i,j
Ight)$ - entry is equal to $ c_ {ij} $ for every i and $ j $ 被称为Cofactor矩阵 A.

伴随矩阵

伴随矩阵(或辅助矩阵)是矩阵的转换 cofactors.

定义 Let A be a $ kimes k $ matrix and $ C $ 它的辅助因子矩阵。伴随矩阵 A, denoted by [eq34], is[eq35]

伴随,决定因素和逆

以下命题是拉普拉斯扩张的直接后果。

主张 Let A be a $ kimes k $ matrix and [eq36] its adjoint. Then,[eq37]在哪里 I is the $ kimes k $ identity matrix.

证明

定义[eq38]经过 矩阵乘法的定义, $ left(i,j
Ight)$ - entry of $ r $ is[eq39]在哪里 in step $ rame {a} $ 我们使用了伴随的事实是辅助因子的转换 matrix. When $ i = j $, 步骤中的表达 $ rame {a} $ 是拉斯普拉斯扩张的 A 因此等于 [eq40]. When $i
eq j$ 它是错误的行的扩展,因此它等于 0. Thus,[eq41]什么时候 [eq42]我们 have [eq43]哪个 是一个列扩展。因此,通过先前使用的相同的参数,我们有 that[eq44]

前一个主张的结果是以下内容。

主张 Let A be a $ kimes k $ invertible 矩阵 and [eq45] its adjoint. Then[eq46]

证明

自从 A is invertible, [eq47]. 然后,我们可以重写 result[eq48]作为[eq49]因此, 通过反向矩阵的定义, matrix[eq50]是 the inverse of A.

解决练习

下面可以找到一些练习解释的解决方案。

练习1

Define the matrix

[eq51]计算 the determinant of A 通过使用Laplace扩展沿其第三列。

解决方案

扩张 is[eq52]

练习2

Define[eq53]计算 the adjoint of A, 用它来派生 A, 并验证如此获得的矩阵确实是倒立的 A.

解决方案

决定因素 A is[eq54]因此, A 是可逆的。请注意,通过删除一行和一个的子矩阵 column of A are $ 1 $ 1 $. 因此,未成年人的矩阵 A is[eq55]和 辅因子的基质 is[eq56]这 通过传递矩阵来获得伴随 cofactors:[eq57]这 可以计算逆 as[eq58]让 us multiply it by A 为了检查它确实是它的 inverse:[eq59]

如何引用

请引用:

Taboga, Marco (2017). "拉普拉斯扩张,未成年人,辅助因子和伴侣", Lectures on matrix algebra. //www.enerxy-china.com/matrix-algebra/Laplace-expansion-minors-cofactors-adjoints.

这本书

本网站上发现的大多数学习材料现在都以传统的教科书格式提供。