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约旦形式

经过 ,博士学位

矩阵据说是在乔丹形式中,如果1)其对角线条目等于 其特征值; 2)其超自然条目是零或零; 3)所有 它的其他条目是零。

我们将证明任何矩阵相当于乔丹的矩阵 form.

为了理解这一讲座,我们应该熟悉这个概念 讲座介绍 generalized eigenvectors Jordan chains.

目录

超自然的条目

正如我们已经所述的那样,jordan表单中唯一的矩阵的非零条目 位于其主要对角线上和在次普隆上。后者是 一组位于主对角线上方的条目。

例子 Define[eq1]全部 the entries of $ j $ 零是零,除了那些等于的超自然 1.

乔丹块

我们首先定义jordan形式中矩阵的基本构建块, 叫做约旦块。

定义 A $ dimes d $ matrix $ j_ {d,lambda} $ 据说是一个约旦的维度 $ d $ and eigenvalue $ lambda $ 如果它的对角线条目都等于 $ lambda $ 它的超自然条目都是等于的 1.

因此,乔丹块由其维度及其尺寸完全指定 eigenvalue.

例子 If the dimension is $d=3$ 和特征值是 $ lambda = 2 $, then[eq2]

乔丹维度 $d=1$ 是一个标量,即, [eq3].

请注意,乔丹块是 upper triangular, 和 the 上三角矩阵的对角线条目等于其 eigenvalues。这就是为什么的原因 $ lambda $ is called the eigenvalue 的 the Jordan block $ j_ {d,lambda} $.

约旦街区和约旦链

我们现在为Jordan Block提供了一个有用的事实。

主张 Let A be a $ kimes k $ matrix. Let $ lambda $ be an eigenvalue of A. Let x 是一个广义的特征向量 A 与特征值相关联 $ lambda $. Let $ d $ 是最小的整数 that[eq4][eq5]是 the $ kimes d $ 矩阵列是由此产生的jordan链的载体 x. Then,[eq6]在哪里 $ j_ {d,lambda} $ 是一个乔丹的维度 $ d $ and eigenvalue $ lambda $.

证明

我们 have[eq7]在哪里 $ e_ {1},ldots e_ {d} $ 是载体的 standard basis 的 space of $ Dimes 1 $ 向量,我们一再使用了 乘法规则 block matrices. Therefore,[eq8]

约旦 Blocks的权力与零特征值

Let $ j_ {d,0} $ 成为零特征值的约旦块。当我们繁殖后 $ dimes d $ matrix $ m $. by $ j_ {d,0} $, 我们获得了一个矩阵:

下一个例子应该澄清这种情况的原因。

例子 Let [eq9][eq10]作为 通常我们可以看到列 $ mj_ {3,0} $ 作为列的线性组合 $ m $. 带有系数 $ j_ {3,0} $. 因此,产品的第一列 $ mj_ {3,0} $ is[eq11]这 second one is[eq12]和 the third one is[eq13]作为 a consequence,[eq14]

Now, write [eq15]在哪里, as before, [eq16] 是标准的空间的标准的载体 $ Dimes 1 $ vectors.

然后,我们可以使用刚才示出的结果来导出权力 Jordan block:[eq17]

The last equation ($ j_ {d,0} ^ {d} = 0 $) 将在下面重复使用。

直接矩阵

在下面我们将使用矩阵的直接和符号, 我们尚未在这些讲义中使用。

If A and $ b $ 然后是两个矩阵 $ aoplus b $ 将表示块对角线矩阵 A and $ b $ as its diagonal blocks:[eq18]

注意,虽然符号是相同的,但直接总和的概念 矩阵与之不同 direct sum 的 subspaces.

例子 考虑约旦街区 $ j_ {2,lambda _ {1}} $ and $ j_ {2,lambda _ {2}} $. 然后,他们的直接总和 is[eq19]

约旦形式的定义

我们现在提供了乔丹形式的简单定义。

定义 A matrix $ j $ 如果它只有它可以被写为直接和,据说是在约旦形式 of Jordan blocks:[eq20]在哪里 [eq21] 是一个乔丹块 $ j = 1,ldots,m $.

Here is an example.

例子 Let [eq22], [eq23], [eq24] 成为约旦街区 [eq25]然后,[eq26]是 Jordan形式的矩阵。

每个矩阵类似于Jordan表单中的矩阵

由于上一节中提出的结果,我们可以轻松派生 这讲座的主要结果。

主张 Let A be a $ kimes k $ 矩阵。然后,存在一个 $ kimes k $ invertible matrix $ p $. such that[eq27]在哪里 $ j $ 是乔丹形式的矩阵。

证明

[eq28] 是独特的特征值 A. For each eigenvalue $ lambda _ {j} $, choose a basis $ b_ {j} $ Jordan链的广义 eigenspace[eq29]这 existence of a basis $ b_ {j} $ 已经证明了每个广泛的eigenspace的约旦链 lecture on 约旦 chains。笔记 每个基础都可以包含多个链条。表示 $ nleft(j
Ight)$ 乔丹链的数量 $ b_ {j} $ and by [eq30] 他们的长度。表示 $ p_ {j,k} $ 列是矩阵是其中的vector k - Jordan chain in $ b_ {j} $. Define the block matrices[eq31]然后,[eq32]在哪里 in step $ rame {a} $ 我们使用了关于约旦街区和约旦链的结果 之前。我们现在可以 define[eq33]我们 have[eq34]在哪里[eq35]是 Jordan形式的矩阵,是约旦块的直接总和。自从此以来 普遍的eIgenspaces形成直接总额,他们的基础结合是一个 linearly independent set. 因此,列 $ p $. 是线性独立的 $ p $. is invertible。因此,我们可以 rewrite the equation[eq36]那 we have just derived as[eq37]

请注意,列的列 基于变革的矩阵 $ p $. 建立在证明中是概括的特征向量 A 为空间形成基础 Kx1 vectors.

The matrix $ j $ 在约旦形式,是上三角矩阵的直接总和,本身就是一个 上三角矩阵。因此,其对角线元件等于其 特征值。反过来,自从 A and $ j $ are similar,他们有相同的 特征值。因此,在执行相似性转换之后 transforms A into a matrix $ j $ 在约旦形式,我们可以阅读特征值 A 在主要对角线上 $ j $.

变化基矩阵

在以前的命题中,我们已经表明了一个矩阵 $ p $. 广义的特征向量可以用作基础矩阵 transform A 进入类似的矩阵 $ j $ in Jordan form.

更具体的是:改变的所有改变基础矩阵 A into a matrix $ j $ 在约旦形式是广义特征向量的矩阵。

主张 Let A and $ p $. be $ kimes k $ matrices. Let $ p $. be invertible. Let [eq37]如果 $ j $ 是在约旦形式,然后是列 $ p $. 是概括的特征向量 A.

证明

通过定义 $ j $, we have[eq39]$ p_ {ullet j} $ be the $ j $ - column of $ p $.. Then,[eq40]二 案件是可能的:1) [eq41], where $ lambda $ is an eigenvalue of $ j $ and $ e_ {j} $ is the $ j $ - 标准的矢量; 2) [eq42]. In the first case,[eq43]哪个 implies that $ p_ {ullet j} $ is an eigenvector of A. In the second case,[eq44]或者[eq45]如果 $ p_ {ullet j-1} $ is an eigenvector, then[eq46]$ p_ {ullet j} $ 是广义特征向量。如果没有,那么我们就在案例2)。通过递归 申请相同的推理我们得出结论 $ p_ {ullet j} $ 是广义特征向量。

Note that, trivially,[eq47]

因此,列 I, 这是标准的载体,是a的概括特征向量 矩阵在约旦形式。

最小多项式

The minimal polynomial 的 a Jordan表单中的矩阵很容易导出如下。

主张 Let $ j $ 是乔丹形式的矩阵,其不同的特征值是 [eq48]. For each $ lambda _ {j} $, let $ v_ {j} $ 是最大的约旦块的维度 $ j $ having eigenvalue $ lambda _ {j} $. 然后,最小的多项式 $ j $ is[eq49]

证明

我们首先表明 p is an 湮灭多项式 for $ j $. As before, suppose that[eq35]所以 that[eq51]为了 $ l = 1,ldots,m $. Moreover, we have[eq52][eq53]在 fact, each block[eq54]是 通过先前派生的结果等于jordan块的权力的结果等于零 零特征值。因此,所有对角线块 [eq55] 对应于乔丹块 $ j $ with eigenvalue $ lambda _ {l} $ 等于零。结果,每个对角线块 matrix[eq56]是 对角线块的乘积,至少一个为零。因此, [eq57]不是 only p 湮灭,但它也是蒙骗的。假设 p 不是最小的多项式。然后,存在湮灭多项式 $ q $ 那比较低的程度 p and divides p. Suppose that[eq58]在哪里 [eq59] for $ j = 1,ldots,m $ 存在索引 $ l $ such that [eq60]. 没有一般性,我们可以假设 $ l = m $ (否则,我们可以改变因素的顺序)。因此,有一个对角线 block of [eq61], equal to [eq62], 这与零不同(因为,如上所述,我们需要提高一个 [eq63] 约旦块与特征值零至少到了 $
u _{m}$ - 获取零矩阵的电源)。所有的块 [eq64], ..., [eq65] 对应于所述非零块在其对角线上具有非零条目。 Therefore[eq66]哪个 与假设相矛盾 $ q $ 是一个湮灭的多项式。因此, p 是最小的多项式。

由于类似的矩阵具有相同的多项式,因此我们可以得出 最小的矩阵多项式 A 首先找到一个矩阵 $ j $ 在Jordan形式类似于 A 然后使用上述命题找到最小多项式。

解决练习

下面可以找到一些练习解释的解决方案。

练习1

找到最小多项式 of[eq67]

解决方案

乔丹块 $ j $ are[eq68]因此, 最小的多项式 $ j $ is[eq69]

练习2

找到最小多项式 of[eq70]

解决方案

乔丹块 $ j $ are[eq71]所以, 最小的多项式 $ j $ is[eq72]

如何引用

请引用:

Taboga, Marco (2017). "约旦形式", Lectures on matrix algebra. //www.enerxy-china.com/matrix-algebra/Jordan-form.

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