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GIVENS旋转矩阵

经过 ,博士学位

Givens旋转矩阵(或平面旋转矩阵)是一个 orthogonal matrix 那 is often 用于将真实矩阵转换为一个 equivalent one, typically by 歼灭其主要对角线以下的条目。

目录

定义

这是一个定义。

定义 Let $ C $ and $ s $ 是两个真正的数字,这样 $ c ^ {2} + s ^ {2} = 1 $. Let [eq1] be the $ kimes k $ identity matrix。让 $ m $ and n 是两个整数,这样 [eq2]. givens旋转矩阵 [eq3]是 the $ kimes k $ 矩阵,其条目均等于相应的参数 [eq4], except for[eq5]

让我们立即看到一些例子。

例子 The following is a 5美元5美元 Givens matrix:[eq6]在 this case, $K=5$, $m=2$ and $n=4$. 因此,通过修改A的第二行和第四行来获得矩阵 5美元5美元 identity matrix.

例子 Another example is [eq7]哪个 通过修改第一行和第四行来获得 $ 4 $ 4 $ identity matrix.

例子 较小的旋转矩阵 follows:[eq8]

正交性

GIVENS矩阵是正交的(即,它们的柱子是正常的)。

主张 A Givens matrix $ g $ is orthogonal, that is,[eq9]

证明

[eq3]我们 need to prove that [eq11]经过 using the definition of matrix product,我们可以看到后一程等式暂停 if[eq12]在哪里 $ g_ {k ullet} $ denotes the k - row of $ g $. 我们将证明这是真的。什么时候 $k
eq m$ and $l
eq n$, then[eq13]因为 身份矩阵的行是正常的。什么时候 $ k = l = m $, then[eq14]什么时候 $ k = l = n $, then[eq15]什么时候 $ k = m $ and $ l = n $ (or $ k = n $ and $ l = m $), so that $k
eq l$, then we have[eq16]最后, when either k or $ l $ is equal to one of $ m $ or n (另一个不等于 $ m $ or n), we have either[eq17]或者[eq18]哪个 completes the proof.

等同的变换

Let [eq3]是 a $ kimes k $ GIVENS旋转矩阵。

Let A be a $ kimes l $ matrix.

当我们计算时会发生什么 product[eq20]那 is, when we use $ g $ 执行等效的转换 A?

通过通常的解释 matrix 产品作为线性组合, 我们可以看到产品是一个新的 矩阵何行均等于相应行 A, except for the $ m $ - and n - 。 In particular, if $l
eq m$ and $l
eq n$, then[eq21]

But we have[eq22]

例子 Let [eq23][eq24]然后, the product is [eq25]

湮灭参赛作品

假设如前一部分,我们执行相同的 transformation of a $ kimes l $ matrix A 通过使用GIVENS旋转 [eq26].

Further suppose that $A_{mm}
eq 0$.

How can we set $ C $ 以这样的方式,转变彻底危析了进入 $ a_ {nm} $?

我们已经知道,在转型之后, n - row is[eq27]

Therefore, [eq28]

In order to have [eq29], we must have[eq30]

但我们也必须满足 constraint[eq31]

解决了这两个方程 by[eq32]

例子 Define [eq33]让 我们找到一个旋转矩阵,使我们能够消灭进入 $ a_ {31} = 4 $. 首先,我们需要一个非零条目用作枢轴。我们选择 $ a_ {11} = 3 $. 因此,旋转中涉及的行是第一和第三的行。作为一个 结果,我们的Givens矩阵有 form[eq34]这 numbers $ C $ and $ s $ are chosen as follows:[eq35]因此, the transformation is[eq36]哪个 实现所需的湮灭。

解决练习

下面可以找到一些练习解释的解决方案。

练习1

Define the matrix[eq37]找 转换的Givens旋转矩阵 A into an upper triangular matrix.

解决方案

我们需要歼灭进入 $ a_ {32} =  -  3 $. 我们可以通过枢转来实现 $ a_ {22} = 4 $. Thus, $m=2$ and $n=3$. Moreover,[eq38]所以, the rotation matrix is[eq39]这 等同的转型 is[eq40]

如何引用

请引用:

Taboga, Marco (2017). "GIVENS旋转矩阵", Lectures on matrix algebra. //www.enerxy-china.com/matrix-algebra/Givens-rotation.

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