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高斯乔丹消除算法

经过 ,博士学位

高斯乔丹消除是一种允许改造a的算法 linear system 进入 an equivalent system 在缩小的梯度形式中。

关于高斯消除的主要区别是说明的 following diagram.

说明高斯和高斯乔丹消除算法之间的差异的图

在这个讲座中,我们将假设读者已经熟悉了 with 高斯 elimination 并意识到之间的差异 row echelon form and reduced row echelon form.

目录

概述

高斯乔丹消除算法的目的是改变线性的 system of K equations in $ l $ unknowns [eq1]进入 缩减行中的等效系统(即,具有相同解决方案的系统) echelon form.

可以写入系统 as[eq2]在哪里 A is the $ kimes l $ coefficient matrix, x is the $ limes 1 $ 背景的传染媒介和 $ b $ is a Kx1 constant vector.

请记住,系统在 减少了梯度形式 if its coefficient matrix A 具有以下属性:

高斯乔丹消除在一系列中组成 elementary row operations:

  1. 互换方程的顺序,以确保零 行位于矩阵的底部;

  2. 通过非零常数乘以(或划分)方程式,以便制作 the pivots equal to 1;

  3. 将一些方程的倍数添加到其他方程,以便湮灭 枢轴上方和下方的条目。

算法的步骤

高斯乔丹算法与高斯消除非常相似。所以, 我们不会详细解释其措施,但我们只是要去 评论高斯消除差异。请参阅 to the lecture on Gaussian elimination 有关详细解释。

在铺设算法之前,我们警告读者的系数 系统的矩阵将被表示为 A 在执行基本行操作之前和之后,即使是 由操作产生的矩阵原则上是不同的矩阵。

下面列出了以下步骤:

  1. Start from $k=0$ and $l=0$.

  2. Increment k by one unit.

  3. Increment $ l $ by one unit.

  4. 停止算法如果 $l>L$. 否则继续下一步。

  5. If $ a_ {il} = 0 $ for $ i = k,ldots,k $, 返回步骤3.否则继续下一步。

  6. Interchange the k - 具有任何等式的等式 i (with $i>k$) such that $A_{il}
eq 0$ (if $ i = k $ 没有必要执行交换)。

  7. Divide the k - equation by $ a_ {kl} $.

  8. For $ i = 1,ldots,k-1 $ and $ i = k + 1,ldots,k $, subtract the k - 方程乘以 $ a_ {il} $ from the i - equation.

  9. If $k<K$, 返回步骤2.否则停止算法。

关于高斯消除的差异如下:

例子

我们在下面的一个例子下面的一个jordan消除的例子。

为了简化符号,我们将使用 增强 matrices to 代表线性系统。

例子 考虑由四个未知数所代表的三个方程的系统 augmented matrix[eq3]我们 start from row $k=1$ and column $l=1$. Since [eq4], 我们不执行任何行的行。我们划分第一排 $ a_ {11} =  -  1 $ and obtain[eq5]在 为了将条目下面的条目歼灭 $ a_ {11} $, 我们减去了第一行乘以 $3$ 从第二个并乘以 1 from the third:[eq6] We move to row $k=2$ and column $l=2$. Since $ a_ {kl} = a_ {22} = 0 $, but $A_{32}
eq 0$, 我们与第二排交换 third:[eq7]我们 划分第二排 $ a_ {22} = 2 $:[eq8]我们 添加第二行乘以 $2$ to the first:[eq9] We move to row $k=3$ and column $l=3$. 我们将第三行除以其枢轴的价值 $ a_ {33} = 18 $:[eq10] We add $-6$ 第三行到第二行和 third:[eq11]这 矩阵现在处于缩小的行梯度形式。

高斯约旦消除枢转

与高斯消除一样,为了提高数值稳定性 算法,我们通常在步骤6中进行部分枢转,即我们总是 选择移动最大元素(绝对值)的行互换 到枢轴位置。如果我们还交换列以最大化 枢轴的绝对值,然后我们正在进行完全枢转。看看 lecture on Gaussian elimination 有关部分和完全枢转的更多细节。

解决练习

下面可以找到一些练习解释的解决方案。

练习1

Transform the system[eq12]进入 缩小行梯度形式中的等效系统。使用Gauss Jordan 部分枢转消除算法。

解决方案

入口 $ a_ {11} $ 非零,它已经是第一列中的最大条目。 因此,它用作枢轴。划分第一行 $ a_ {11} = 2 $:[eq13]歼灭 枢轴下方的条目 $ a_ {11} $:[eq14]互换 第二排由第三行,使最大的元素移动到 pivotal position:[eq15]划分 the second row by $ a_ {22} = 5/2 $:[eq16]歼灭 枢轴上方和下方的条目 $ a_ {22} $:[eq17]互换 第三排 fourth:[eq18]划分 the third row by $ a_ {33} = 7 $:[eq19]全部 枢轴上方和下方的元素 $ a_ {33} $ 已经为零,所以我们可以移动到最后一行。没有行 互换考虑,因为最后没有下面的行。 Furthermore, $ a_ {11} $ 是一个枢轴,它已经等于 1. 因此,我们只需要将内容的元素歼灭 it:[eq20]这 系统现在处于缩减行梯形状态。

如何引用

请引用:

Taboga, Marco (2017). "高斯乔丹消除算法", Lectures on matrix algebra. //www.enerxy-china.com/matrix-algebra/Gauss-Jordan-elimination.

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