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Cholesky分解

经过 ,博士学位

A square matrix 是 said to 如果它可以被写入较低的乘积,则具有Cholesky分解 三角形基质及其转置(复杂壳体中的缀合物); 较低的三角矩阵需要严格正的真实条目 在它的主要对角线上。

在这次讲座中,我们将证明所有积极的矩阵 拥有粗心的分解。此外,分解是独特的。

目录

定义

我们从一个定义开始。

定义 Let A be a $ kimes k $ matrix. We say that A 如果才有骗人的分解,如果才有 lower triangular $ kimes k $ matrix $ l $ 使其对角线条目是严格的实数 and[eq1]在哪里 $ l ^ {st} $ denotes the conjugate transpose of $ l $.

When $ l $ 是真实的(它的条目具有零复杂部分),然后缀合物转置 $ l ^ {st} $ 恰逢翻倒 $ l ^ {op} $ 和巫校的分解 is[eq2]

例子 考虑下三角形 matrix[eq3]和 its conjugate transpose[eq4]然后, the matrix[eq5]已 the Cholesky decomposition[eq6]

存在

Remember that a complex matrix A is said to be positive definite 如果且仅当二次形式 $ x ^ {st} ax $ 对于任何向量,是真实的(即,它具有零复杂部分) x and[eq7]每当 $x
eq 0$.

当我们限制我们对真正的矢量和矩阵时,我们这么说 a real matrix A 如果只有,是正定的 A is symmetric and [eq8] 对于任何非零真正的矢量 x.

积极的明确是一种必要和充分的条件 妖精分解的存在。

主张 一个方形矩阵具有Cholesky分解,如果它只是 positive definite.

证明

让我们证明“如果”部分,从 the hypothesis that A 是积极的。由于积极的矩阵 A is Hermitian (i.e., $ a = a ^ {st} $), it is also normal。因此,它 can be diagonalized as[eq9]在哪里 $ p $. is a unitary matrix and $ d $ 是一个对角线矩阵 eigenvalues of A 在它的主要对角线上。而且,自从 A 是积极的,其特征值是严格的真实数字。 Thus, we can write[eq10]在哪里 $ d ^ {1/2} $ 是一个对角线矩阵,使其 $ left(k,k
Ight)$ - entry satisfies[eq11]为了 $ k = 1,ldots,k $. Therefore, [eq12]这 matrix $ p $., 酉,是全级别。矩阵 $ d ^ {1/2} $ 是对角线(因此三角形),其对角线条目是严格呈正的。 Thus, by the properties of triangular matrices, $ d ^ {1/2} $ is full-rank . 这 product 两个全级矩阵是全级别。所以, $ d ^ {1/2} p $ 是全级别的,因此它有一个 QR decomposition[eq13]在哪里 $ q $ 是一个单一的矩阵,不仅是一个 $ r $ 是上三角形,但它也有严格的积极实际条目 主要对角线(记住所有方形矩阵都有QR分解,并且 如果矩阵存在,后者严格的阳性条件是满足的 分解是全级别的)。因此,我们 have[eq14]在哪里 $ l = r ^ {st} $ 是一个较低三角形矩阵,其上具有严格的正对角线条目 主要对角线。因此, A has the Cholesky decomposition[eq6]让 我们现在证明了“只有”部分,从假设开始 A 具有粗心的分解,如前面的等式中。自对角线以来 entries of $ l $ 严格积极, $ l $ 是全级别的。因此,对于任何 $x
eq 0$, we have[eq16]和 quadratic forms satisfy[eq17]在哪里 最后的不平等是遵循的 积极明确的财产 norm。而且,常态 [eq18] 保证是一个实数。所以, A 是积极的。

唯一性

Cholesky的分解是独一无二的。

主张 A $ kimes k $ 正定的矩阵 A 有一个独特的妖精分解,意义上存在 独特的下三角矩阵 $ l $ 在主要对角线上有严格的实际条目 satisfies[eq6]

证明

假设存在另一个 decomposition[eq20]然后, we have[eq21][eq22]在哪里 反转的存在 [eq23] and $ m ^ { -  1} $ 由事实保证 $ l $ and $ m $. 是三角形,严格积极的对角线条目。自从 $ m $. and $ l $ 是较低的三角形, $ m ^ { -  1} l $ 是较低的三角形。自从 $ m ^ {st} $ and $ l ^ {st} $ 是上三角形, [eq24] 是上三角形。下三角矩阵 $ m ^ { -  1} l $ 可以等于上三角矩阵 [eq25] 只有两个矩阵都是对角线。 Therefore,[eq26]在哪里 $ d $ 是一个对角线矩阵。笔记 that[eq27]作为 a consequence,[eq28]因此, 任何对角线条目 $ d $ (denote it by $ d_ {kk} $) satisfies[eq29]在 其他单词,对角线条目 $ d $ 全部位于单位圈。而且,他们需要满足 constraint[eq30]在哪里 两者的对角线条目 $ m $. and $ l $ 是真实的,严格的积极。满足这一限制的唯一方法 剩下的单位圈是 pick[eq31]为了 all k. Therefore,[eq32][eq33]

如何计算Cholesky分解

粗心分解的一个 $ kimes k $ matrix A 可以通过直接解决的来计算 equation[eq6]

特别是,通过定义 矩阵 product, 这 后一程等式意味着 that[eq35]为了 any entry $ a_ {tv} $ 位于交叉口 $ t $ - row and $ v $ - column (for $ t = 1,ldots,k $ and $ v = 1,ldots,k $)。

Since $ l $ is lower triangular, $ l_ {vu} = 0 $ whenever $u>v$. Therefore,[eq36]

我们派生了 $ l $ 从后一程,通过以下规则:

通过解决方程(1),我们发现对角线条目 are[eq37]

由于主要对角线上的条目 $ l $ 需要真实,严格积极,我们总是选择积极的根。 此外,如果平方根下的数字并不严格为正,则 我们停止算法,我们得出结论 A 不是积极的明确。

通过解决方程再次(1),我们发现另一个条目 $ l_ {tv} $ (for $t>v$) are[eq38]在哪里 我们已经使用了这个事实 [eq39] 因为主角线上的条目是真实的。

例子 让我们找到Cholesky的分解 [eq40]我们 need to find a matrix[eq41]这样的 that[eq6]我们 从第一列开始和它对角线 entry[eq43]这 下一个列中的下一个条目 is[eq44]我们 现在移动到第二列及其对角线 entry[eq45]所以, 粗弦分解中使用的下三角矩阵 is[eq46]

解决练习

下面可以找到一些练习解释的解决方案。

练习1

计算Cholesky分解 of[eq47]

解决方案

我们从第一行开始。对角线 entry is[eq48]这 second entry is[eq49]和 the third one is[eq50]我们 现在前往第二列,我们从哪里开始 entry[eq51]这 entry below it is[eq52]我们 现在可以去第三列和 find[eq53]因此, 在分解中使用的三角矩阵 is[eq54]

如何引用

请引用:

Taboga, Marco (2017). "Cholesky分解", Lectures on matrix algebra. //www.enerxy-china.com/matrix-algebra/Cholesky-decomposition.

这本书

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