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置换

经过 ,博士学位

这次讲座介绍了置换,其中快三一定牛最重要的概念之一 组合分析。

我们首先在没有重复的情况下处理排列,也称为简单 置换,然后用重复进行排列。

目录

没有重复的n个元素的置换

没有重复的排列 n 对象是订购的可能方法之一 n objects.

没有重复的置换也是简单地称为排列。

以下小节略有正式定义 排列并处理计数可能的数量的问题 permutations of n objects.

无重复的排列的定义

Let a_1, a_2,......, 快三一定牛 be n objects. Let $ s_ {1} $, $ s_ {2} $, ..., $ s_ {n} $ be n slots to which the n 可以分配对象。一种 排列 (or 没有重复的排列 或者 简单的 排列) 的 a_1, a_2,......, 快三一定牛 是填补每个人的可能方法之一 n 快三一定牛且只有快三一定牛的插槽 n 对象(具有每个对象只能将每个对象分配给快三一定牛插槽的章节)。

例子 考虑三个物体 a_1, a_2 and $ a_ {3} $. 有三个插槽 ($ s_ {1} $, $ s_ {2} $ and $ s_ {3} $) 我们可以分配三个对象 ($ a_ {1} $, a_2 and $ a_ {3} $)。 三个物体有六种可能的筛选(六种可能的方式 用三个填充三个插槽 objects):[eq1]

没有重复的排列数量

Denote by $ p_ {n} $ 可能的排列数量 n objects. How much is $ p_ {n} $ 一般来说?换句话说,我们如何计算可能的数量 permutations of n objects?

The number $ p_ {n} $ 可以通过注意到填补来源的 n 插槽是快三一定牛顺序问题:

  1. 首先,我们将对象分配给第快三一定牛插槽。有 n 可以分配给第快三一定牛插槽的对象,所以存在 [eq2]

  2. 然后,我们将对象分配给第二插槽。曾经有 n 对象,但已经分配给插槽。所以,我们留下了 $n-1$ 可以分配给第二个插槽的对象。因此,那里 are[eq3][eq4]

  3. 然后,我们将对象分配给第三个插槽。曾经有 n 对象,但两个已经分配给插槽。所以,我们留下了 $n-2$ 可以分配给第三槽的对象。因此,那里 are[eq5][eq6]

  4. 等等,直到只剩下快三一定牛对象和快三一定牛免费插槽。

  5. 最后,当仍然只有快三一定牛免费插槽时,我们将剩余的对象分配给 它。只有一种方法可以这样做。因此,那里 are[eq7][eq8]

因此,通过上述顺序论点,总计 数量 可能的排列 of n objects is[eq9]

数字 $ p_ {n} $ 通常表示为 follows:[eq10]在哪里 $ n!$ is read "n 阶乘“,”公约“ that[eq11]

例子 可能的排列数量 $5$ objects is[eq12]

n个元素与重复的置换

重复的排列 n 对象是选择另一组的可能方法之一 n 来自原始的对象。选择规则是:

  1. 可以多次选择每个对象;

  2. 选择的顺序很重要(相同 n 在不同订单中选择的对象被视为不同的置换)。

因此,简单排列与置换之间的差异 重复是,可以在前者中只选择对象,而它们 可以在后者中选择不止一次。

以下小节略有正式定义 重复排列并处理计数数字的问题 有可能的释放与重复。

重复置换的定义

Let a_1, a_2,......, 快三一定牛 be n objects. Let $ s_ {1} $, $ s_ {2} $, ..., $ s_ {n} $ be n slots to which the n 可以分配对象。一种 重复排列 of a_1, a_2,......, 快三一定牛 是填补每个人的可能方法之一 n 快三一定牛且只有快三一定牛的插槽 n 对象(具有可以将对象分配给多个的附带的附带条件 slot).

例子 Consider two objects a_1 and a_2. 有两个插槽填充 ($ s_ {1} $ and $ s_ {2} $)。 有四种可能的排列,重复两个物体(四 将对象分配给每个插槽的可能方法,被允许分配 相同的对象超过快三一定牛 slot):[eq13]

重复的排列数量

Denote by $ p_ {n} ^ {prime} $ 重复的可能排列的数量 n objects. How much is $ p_ {n} ^ {prime} $ 一般来说?换句话说,我们如何计算可能的数量 重复的排列 n objects?

我们可以派生一般公式 $ p_ {n} ^ {prime} $ 通过使用顺序参数:

  1. 首先,我们将对象分配给第快三一定牛插槽。有 n 可以分配给第快三一定牛插槽的对象,所以存在 [eq14]

  2. 然后,我们将对象分配给第二插槽。即使快三一定牛对象已经 分配给上一步中的插槽,我们仍然可以选择 n 对象,因为我们被允许多次选择对象。所以,那里 are n 可以分配给第二插槽的对象 and[eq15][eq16]

  3. 然后,我们将对象分配给第三个插槽。即使是两个对象 在前两步分配给插槽,我们仍然可以选择 n 对象,因为我们被允许多次选择对象。所以,那里 are n 可以分配给第三插槽的对象 and[eq17][eq18]

  4. 等等,直到我们只剩下快三一定牛免费插槽( n-th)。

  5. 只有快三一定牛免费插槽仍然存在,我们分配其中快三一定牛 n 对象。因此,那里 are:[eq19][eq20]

因此,通过上述顺序论点,总计 数量 可以重复的可能置换 of n objects is[eq21]

例子 重复的可能排列的数量 $3$ objects is[eq22]

解决练习

下面可以找到一些练习解释的解决方案。

练习1

桌子周围有5个座位,5人坐在桌旁。在 他们可以坐下多少种方式?

解决方案

桌上的5人坐了一下 顺序问题。我们需要将快三一定牛人分配给第一椅子。有5个 做到这一点的可能方法。然后我们需要将快三一定牛人分配给第二椅。 有4种可能的方法来做到这一点,因为快三一定牛人已经过了 分配。等等,直到仍然存在快三一定牛免费的椅子和快三一定牛人 坐下。因此,桌上5人座位的方式的数量是 等于5个对象的排列数(没有重复)。要是我们 denote it by $ p_ {5} $, then[eq23]

练习2

Bob,John,Luke和Tim扮演快三一定牛网球锦标赛。锦标赛的规则 是这样,在锦标赛结束时,将在那里进行排名 将没有关系。有多少不同排名?

解决方案

排名4人是快三一定牛连续的问题。 我们需要将快三一定牛人分配到第快三一定牛地方。有4种可能的方法可以做到 这。然后我们需要将快三一定牛人分配到第二个地方。有3个 这样做的可能方法,因为快三一定牛人已经被分配了。快三一定牛也是 在,直到仍有快三一定牛人被分配。因此,数量 排名参加参与锦标赛的4人的方法等于 4个物体的排列数(没有重复)。如果我们表示它 $ p_ {4} $, then[eq24]

练习3.

快三一定牛字节是由8位数组成的数字,其可以等于0或 1.有多少个不同的字节?

解决方案

要回答这个问题,我们需要遵循 当我们派生数字时,我们跟随的快三一定牛推理 重复排列。有2种可能的方法可以选择第快三一定牛 数字和2种可能的方法选择第二个数字。所以,有4个可能的 选择前两位数字的方法。有2种可能的方式两个选择 第三位数和4个可能的方法可以选择前两个。因此,有8个 可以选择前三位数字的可能方法。等等,直到我们选择 所有数字。因此,选择8位数的方法数量是相等的 to[eq25]

如何引用

请引用:

Taboga, Marco (2017). "置换", Lectures on probability theory and mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.enerxy-china.com/mathematical-tools/permutations.

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