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序列限制

经过 博士

在本讲座中,我们介绍了极限的概念 sequence [eq1]. 我们从简单的案例开始 [eq2] 是一个实数序列,那么我们处理一般情况 [eq1] 可以是不一定是实数的对象序列。

目录

实数序列的极限

我们首先给出非正式定义,然后再对 实数序列的极限。

序列极限的非正式定义 real numbers

Let [eq1] 是一个实数序列。让 $ n_ {0} in U {2115} $. Denote by [eq5] a subsequence of [eq2] 通过删除第一个获得 $ n_ {0} $ terms of [eq2], i.e.,[eq8]这 以下是序列极限的直观定义。

定义(非正式) Let a 是一个实数。我们说 a is a 序列的极限 [eq9] 通过选择适当的实数 $ n_ {0} $, the distance between a 以及子序列的任何术语 [eq10] 可以使我们尽可能接近零。如果 a 是序列的极限 [eq1], 我们说序列 [eq12] is a 收敛序列 和 that it 收敛 to a. 我们指出以下事实: a is a limit of [eq12] by[eq14]

Thus, a is a limit of [eq1] 如果通过删除足够多的初始项 [eq1], 我们可以做剩下的条款 [eq1] as close to a 如我们所愿。凭直觉 a is a limit of [eq1] if 一个 越来越近 a by letting n go to infinity.

序列极限的形式定义 real numbers

两个实数之间的距离是它们的绝对值 区别。例如,如果 $ ain U {211d} $ and 一个 是序列的术语 [eq1], the distance between 一个 and a, denoted by [eq20], is[eq21]经过 利用距离的概念,可以做出上述非正式定义 rigorous.

定义(正式) $ ain U {211d} $. We say that a is a 序列的极限 [eq1] of real numbers if[eq23]如果 a 是序列的极限 [eq1], 我们说序列 [eq1] is a 收敛序列 和 that it 收敛 to a. 我们指出以下事实: a is a limit of [eq12] by[eq14]

对于那些不熟悉通用量词的人 $ orall $ (any) and $存在$ (存在),符号 [eq23]读 如下:“对于任意小的数字 ε, 存在一个自然数 $ n_ {0} $ 这样之间的距离 一个 and $ a $ is less than ε for all the terms 一个 with $n>n_{0}$”, 也可以重述为“对于任意小的数字 ε, 你可以找到一个子序列 [eq29] 这样子序列的任何项与 a is less than ε" 或作为“通过删除足够多的初始条款 [eq1], 您可以使其余条款尽可能接近 a as you wish".

也有可能证明收敛序列具有唯一限制, i.e., if [eq1] has a limit a, then a 是...的唯一限制 [eq1].

Define a sequence [eq1] 通过表征其 n-th element 一个 as follows:[eq34]这 序列的元素是 $ a_ {1} = 1 $, $ frac {1} {2} $, $ frac {1} {3} $, $ frac {1} {4} $ 等等。越高 n is, the smaller 一个 是,它越接近 0. 因此,从直觉上讲,序列的限制应为 0:[eq35]它 直接证明 0 is indeed a limit of [eq2] 通过使用上面的定义。选择任何 $ arepsilon>0$. We need to find an $ n_ {0} in U {2115} $ 这样子序列的所有项 [eq37] 距离零小于 ε:[eq38]注意 首先是序列的一般术语之间的距离 一个 and 0 is[eq39]哪里 最后的等式来自于该序列的所有项都是 正值(因此它们等于其绝对值)。因此,我们需要 to find an $ n_ {0} in U {2115} $ 这样子序列的所有项 [eq40] satisfy[eq41]以来[eq42]的 condition[eq41]是 satisfied if [eq44], 相当于 [eq45]. 因此,选择任何一个就足够了 $ n_ {0} $ such that [eq46] to satisfy the condition[eq47]在 总结,我们已经表明,对于任何 ε, we are able to find $ n_ {0} in U {2115} $ 这样子序列的所有项 [eq40] 距离零小于 ε. As a consequence 0 是序列的极限 [eq1].

一般而言,序列的极限

现在,我们处理更一般的情况,其中序列的项 [eq12] 不一定是实数。和以前一样,我们首先进行非正式 定义,然后再正式一点。

限额的非正式定义-一般情况

Let A 是一组对象(例如,实数, events, random variables) 然后让 [eq1] 是...的元素序列 A. The limit of [eq1] 定义如下。

定义(非正式) Let $ ain A $. We say that a is a 序列的极限 [eq2] of elements of A, 如果通过适当选择 $ n_ {0} $, the distance between a 以及子序列的任何术语 [eq10] 可以使我们尽可能接近零。如果 a 是序列的极限 [eq1], 我们说序列 [eq12] is a 收敛序列 和 that it 收敛 to a. 我们指出以下事实: a is a limit of [eq12] by[eq14]

定义与我们上面给出的相同,除了现在两者 a 和序列的条款 [eq1] 属于一组通用对象 A.

度量标准和距离的定义

在上面的定义中,我们隐含地假设 元素之间的距离 A 定义明确。因此,为了使上述定义有意义,我们需要 正确定义距离。

We need a function [eq60] 与以下两个元素相关联 A 测量这两个元素有多远的实数。例如,如果 a and $ a ^ {prime} $ are two elements of A, [eq61] 需要是一个实数,用于测量之间的距离 a and $ a ^ {prime} $.

A function [eq62] 被认为是有效的距离函数(它被称为 A) 如果满足某些属性,则在下一个命题中列出。

定义 A 是一组对象。让 [eq63]. $ d $ 被认为是有效的距离函数(在这种情况下,它称为 公制 A) if, for any a, $ a ^ {prime} $ and $ a ^ {prime prime} $ belonging to A:

  1. 非负性: [eq64];

  2. 身份认同: [eq65] if and only if $ a = a ^ {prime} $;

  3. 对称: [eq66];

  4. 三角不等式: [eq67].

这四个属性都很直观:属性1)表示距离 两点之间不能为负数;属性2)表示 当且仅当两点重合时,两点之间的距离为零; 属性3)表示与 a to $ a ^ {prime} $ 与到的距离相同 $ a ^ {prime} $ to a; 属性4)说(大致来说),您走时的距离 from a to $ a ^ {prime prime} $ 直接小于(或等于)离开时的覆盖距离 a to $ a ^ {prime prime} $ 从第三点过去 $ a ^ {prime} $ (if $ a ^ {prime} $ 不在途中 a to $ a ^ {prime prime} $ 您正在增加覆盖的距离)。

例子(欧几里得 distance) Consider the set of K尺寸 real vectors $ U {211d} ^ {K} $. 通常用于度量元素之间距离的度量 $ U {211d} ^ {K} $ 是所谓的欧几里得距离。如果 a and $ b $ 是属于的两个向量 $ U {211d} ^ {K} $, 那么他们的欧几里得距离 is[eq68]哪里 [eq69] are the K components of a and [eq70] are the K components of $ b $. 可以证明欧几里得距离满足全部四个 指标需要满足的属性。此外,当 $K=1$, it becomes[eq71]哪一个 与已经给出的实数之间的距离定义一致 above.

每当我们面对一系列物体时,我们都想评估一下 它是收敛的,我们需要首先在集合上定义一个距离函数 序列项所属的对象,并验证提议的 距离函数满足适当距离函数的所有属性 (一个指标)。例如,在概率论和统计学中,我们经常 与随机变量序列。评估这些序列是否 收敛,我们需要定义一个度量来度量两个之间的距离 随机变量。正如我们将在演讲中看到的 随机变量序列及其 convergence,有几种方法可以定义距离的概念 在两个随机变量之间。所有这些方式都是合法的,并且在 不同的情况。

限额的正式定义-一般情况

定义了度量标准的概念后,我们现在可以陈述正式的 序列限制的定义。

定义(正式) A 是一组对象。让 [eq72] be a metric on A. We say that $ ain A $ is a 序列的极限 [eq1] 属于的对象 A if[eq23]如果 a 是序列的极限 [eq1], 我们说序列 [eq1] is a 收敛序列 和 that it 收敛 to a. 我们指出以下事实: a is a limit of [eq12] by[eq14]

同样在这种情况下,有可能证明(见下文)收敛 序列具有唯一的限制,即 [eq1] has a limit $ a $, then a 是...的唯一限制 [eq1].

证明

证明是矛盾的。假设 a and $ a ^ {prime} $ 是一个序列的两个极限 [eq1] and $a
eq a^{prime }$. 通过结合度量的属性1)和2)(请参见上文),必须 that[eq82][eq83] where $ overline {d} $ 是严格的正常数。选择任何术语 一个 的顺序。通过度量(三角形不等式)的属性4),我们 have[eq84]考虑中 that [eq83], 以前的不平等 becomes[eq86]现在, take any [eq87]. Since a 是序列的极限,我们可以找到 $ n_ {0} $ such that [eq88], which means that[eq89][eq90]所以, [eq91] 不能小于 [eq92] and as a consequence $ a ^ {prime} $ 不能是顺序的限制。

收敛准则

实际上,通常很难评估序列的收敛性 使用上面的定义。相反,可以使用 following criterion.

引理( convergence) Let A 是一组对象。让 [eq93] be a metric on A. Let [eq1] 是属于的一系列对象 A and $ ain A $. [eq1] converges to a if and only if[eq96]

证明

通过定义一个序列可以很容易地证明这一点 of real numbers [eq97] whose generic term is[eq98]和 注意到收敛的定义 [eq1] to a, which is[eq23]能够 be written as[eq101]哪一个 是收敛的定义 [eq102] to 0.

因此,在实践中,评估通用的收敛性的问题 对象序列简化如下:

  1. find a metric [eq103] 测量序列项之间的距离 一个 和候选人限制 a;

  2. 定义一个新序列 [eq102], where [eq105];

  3. 研究序列的收敛性 [eq102], 这是一个简单的问题,因为 [eq102] 是一个实数序列。

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "序列限制", Lectures on probability theory and mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.enerxy-china.com/mathematical-tools/limit-of-a-sequence.

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