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k偏移

经过 ,博士学位

讲座推出 k - 矫正, 组合分析中的基本概念。在阅读这段讲座之前,你 应该阅读讲座 permutations.

We first deal with k - 矫枉过正 没有重复,然后没有 k - 矫枉过正 with repetition.

目录

k级没有重复

A k-排列 没有重复 n 对象是一种选择方式 k 来自列表的对象 n. 选择规则是:

  1. 选择的顺序很重要(相同 k 在不同订单中选择的对象被视为不同的 k - 矫枉过正;

  2. 每个对象只能选择一次。

A k-排列 没有重复也是简单的 k-排列。

以下小节略有正式定义 k-排列 并处理计算可能数量的问题 k - 矫枉过正。

k排列的定义无重复

Let a_1, a_2,......, 一个 be n objects. Let $ s_ {1} $, $ s_ {2} $, ..., $ s_ {k} $ be k ($ kleq n $) slots to which k of the n 可以分配对象。一种 k-排列 (or k-排列 without repetition 或者 简单的 k-排列) of n objects from a_1, a_2,......, 一个 是选择的可能方法之一 k of the n 对象并填充每个 k 一个且只有一个对象的插槽。每个对象只能选择一次。

例子 考虑三个物体 a_1, a_2 and $ a_ {3} $. There are two slots ($ s_ {1} $ and $ s_ {2} $) 我们可以分配三个对象中的两个。有六种可能 $2$ - 矫枉过正 三个物体(选择两个物体的六种可能的方法并填充两个 slots with the two objects):[eq1]

没有重复的k筛选人数

Denote by $ p_ {n,k} $ 可能的数量 k - 矫枉过正 of n objects. How much is $ p_ {n,k} $ 一般来说?换句话说,我们如何计算可能的数量 k - 矫枉过正 of n objects?

我们可以派生一般公式 $ p_ {n,k} $ by filling the k 以顺序方式的插槽:

  1. 首先,我们将对象分配给第一个插槽。有 n 可以分配给第一个插槽的对象,所以存在 [eq2]

  2. 然后,我们将对象分配给第二插槽。曾经有 n 对象,但已经分配给插槽。所以,我们留下了 $n-1$ 可以分配给第二个插槽的对象。因此,那里 are[eq3][eq4]

  3. 然后,我们将对象分配给第三个插槽。曾经有 n 对象,但两个已经分配给插槽。所以,我们留下了 $n-2$ 可以分配给第三槽的对象。因此,那里 are[eq5][eq6]

  4. 等等,直到我们离开 $ n-k + 1 $ 对象,只有一个免费插槽( k-th)。

  5. 最后,当只留下一个免费的插槽时,我们会分配剩下的一个 $ n-k + 1 $ 对象。因此,那里 are[eq7][eq8]

因此,通过上述顺序论点,总计 数量 possible k-置换 of n objects is[eq9]

$ p_ {n,k} $ can be written as[eq10]

记住的定义 factorial,我们可以看到 上述比率的分子是 $ n!$ 虽然分母是 [eq11], 所以可能的数量 k - 矫枉过正 of n objects is[eq12]

The number $ p_ {n,k} $ 通常表示为 follows:[eq13]

例子 可能的数量 $3$ - 矫枉过正 of $5$ objects is[eq14]

k释放重复

A k-排列 with repetition of n 对象是一种选择方式 k 来自列表的对象 n. 选择规则是:

  1. 选择的顺序很重要(相同 k 在不同订单中选择的对象被视为不同的 k - 矫枉过正;

  2. 每个对象都可以多次选择。

因此,之间的差异 k - 矫枉过正 没有重复 k - 矫枉过正 重复的是,在后者中可以多次选择对象, 虽然它们只能在前者中选择一次。

以下小节略有正式定义 k-排列 重复并处理计算可能的数量的问题 k - 矫枉过正 with repetition.

用重复的k释放的定义

Let a_1, a_2,......, 一个 be n objects. Let $ s_ {1} $, $ s_ {2} $, ..., $ s_ {k} $ be k ($ kleq n $) slots to which k of the n 可以分配对象。一种 k-排列 重复 of n objects from a_1, a_2,......, 一个 是选择的可能方法之一 k of the n 对象并填充每个 k 一个且只有一个对象的插槽。每个对象都可以多次选择。

例子 考虑三个物体 a_1, a_2 and $ a_ {3} $ and two slots ($ s_ {1} $ and $ s_ {2} $)。 有9种 $2$ - 矫枉过正 重复三个物体(选择两个对象的九种方法 并用两个物体填充两个插槽,被允许挑选相同的 object more than once):[eq15]

重复的k偏移数量

Denote by $ p_ {n,k} ^ {prime} $ 可能的数量 k - 矫枉过正 with repetition of n objects. How much is $ p_ {n,k} ^ {prime} $ 一般来说?换句话说,我们如何计算可能的数量 k - 矫枉过正 with repetition of n objects?

我们可以派生一般公式 $ p_ {n,k} ^ {prime} $ by filling the k 以顺序方式的插槽:

  1. 首先,我们将对象分配给第一个插槽。有 n 可以分配给第一个插槽的对象,所以存在 [eq16]

  2. 然后,我们将对象分配给第二插槽。即使一个对象已经 分配给上一步中的插槽,我们仍然可以选择 n 对象,因为我们被允许多次选择对象。所以,那里 are n 可以分配给第二插槽的对象 and[eq17][eq18]

  3. 然后,我们将对象分配给第三个插槽。即使是两个对象 在前两步分配给插槽,我们仍然可以选择 n 对象,因为我们被允许多次选择对象。所以,那里 are n 可以分配给第二插槽的对象 and[eq19][eq20]

  4. 等等,直到我们只剩下一个免费插槽( k-th)。

  5. 只有一个免费插槽仍然存在,我们分配其中一个 n 对象。因此,那里 are:[eq21][eq22]

因此,通过上述顺序论点,总计 数量 possible k-置换 with repetition of n objects is[eq23]

例子 可能的数量 $2$ - 矫枉过正 of $4$ objects is[eq24]

解决练习

下面可以找到一些练习解释的解决方案。

练习1

有一篮子含有苹果,香蕉和橙子的水果 有五个女孩想要吃一个水果。有多少种方式 每一个水果中的三个,每一个水果都留下两个没有a fruit to eat?

解决方案

将3家果实给5个女孩中的3个 是一个连续的问题。我们首先把苹果给其中一个女孩。那里 5种可能的方法是这样做。然后我们把香蕉给其中一个 剩下的女孩。有4种可能的方法来做这件事,因为一个女孩有 已经得到了水果。最后,我们将橙色给其中一个 剩下的女孩。有3种可能的方法来做到这一点,因为2个女孩有 已经得到了水果。总结,分配三个的方法数 果实等于5个物体的3次排列数(没有 重复)。如果我们表示它 $ p_ {5,3} $, then[eq25]

练习2

十六进制数是一个数字,其数字可能需要十六个不同 值:10个数字中的一个,0到9,或六个字母中的一个 从A到F.如果是,那么有多少不同的8位十六进制数量 允许十六进制数以任意数量的零开始?

解决方案

选择十六进制的8位数 数字是一个顺序问题。有16种可能的方法可以选择第一个 数字和16种可能的方法选择第二个数字。所以,有16x16 可以选择前两位数字的可能方法。有16种可能的方式 选择第三位数和16x16可能的方法来选择前两个。因此, 有16x16x16可能的方法可以选择前三位数字。等等, 直到我们选择了所有数字。因此,选择8的方法数量 数字等于重复16的8个排列数量 objects:[eq26]

练习3.

URN包含十个球,每个球从0表示十个数字之一 9.从URN和相应的数字随机抽出三个球 被写入以形成3位数字,从左向下写下数字 按照他们已提取的顺序向右。当一个球被绘制时 从它被搁置的URN,这样它就无法再次提取。如果一个 是为了写下可能形成的所有3位数字,如何 many would they be?

解决方案

3个球被依次绘制。在 第一次绘制有10个球,因此第一个可能的10个可能的值 数字的3位数字。在第二次绘图时,有9个球,因此 9我们的3位数字的第二位数的可能值。在第三个和 最后绘制有8个球留下了8个球,因此是第三位数的8个可能的值 我们的3位数字。总之,可能的3位数字的数量是 等于10个物体的3个排列数(没有重复)。如果 we denote it by $ p_ {10,3} $, then[eq27]

如何引用

请引用:

Taboga, Marco (2017). "k偏移", Lectures on probability theory and mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.enerxy-china.com/mathematical-tools/k-permutations.

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