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临界值

通过 博士

在假设检验中, test statistic is 用来决定是否拒绝 null hypothesis 或不。如果测试统计量在值范围内 称为接受区域,则原假设不被拒绝。这 接受区域的边界,即 空值不被拒绝的值称为临界值。

目录

定义

以下是正式定义。

定义 Let $ C $是 实数集的子集。假设 $ t_ {n} $ 是一个检验统计量,因此原假设被拒绝 if[eq1] and is not rejected if[eq2]哪里 $ C ^ {c} $ is the complement of $ C $. If $ C ^ {c} $ 是一个间隔,则其极限称为临界值。

Note that the set $ C $ 在上面的定义中被称为测试的关键区域,而 complement $ C ^ {c} $ 称为接受区域。

单尾测试

A test is called 一尾 如果只有一个关键 value $ z $. 特别是有两种情况:

  1. 左尾检验:仅拒绝null if[eq3]

  2. 右尾检验:只有在以下情况下才拒绝null [eq4]

下表通过使用介绍的符号总结了两种情况 in the definition above.[eq5]

临界值如何确定?

Typically, $ z $ 选择以实现期望的 size of the test.

请记住,大小是拒绝原假设的概率 当它是真的。用它来表示 $ lpha $. 对于左尾测试,我们 have[eq6]在 在大多数实际情况下,检验统计量是 continuous random variable。因此,采取任何具体措施的可能性 值等于零。特别是, [eq7]从而, we can write[eq8]哪里 $Fleft( z
ight) $ is the 累积分布 function (cdf)测试统计信息。

为了确定临界值,我们要做的就是找到一个 $ z $ that solves the equation[eq9]对于 最常见的分布,例如 normal distribution 和 the t distribution,该方程没有解析解,因为反函数 of the cdf[eq10]是 封闭形式未知。但是,实际上任何计算器或统计数据 该软件具有预先构建的功能,可以轻松求解方程式 数值上。 (过时的)替代方法是查找关键值 在称为统计表的特殊表中。看到 this lecture 如果您想进一步了解这些替代方案。

右尾测试的情况相似。在这些测试中,我们 have[eq11]

因此,我们必须解决 equation[eq12]哪一个 完全按照左尾的情况求解(唯一的区别是我们 need to replace $ lpha $ with $ 1- lpha $)。

两尾测试

A test is called 两尾 如果有两个关键值 $ z_ {1}$ and $ z_ {2} $ 并且原假设仅被拒绝 if[eq13]

我们假设不失一般性地认为 $ z_ {1}<z_{2}$.

因此,我们可以在上一个表格中添加新行 section:[eq14]

您如何找到两个关键值?

与单尾测试一样(见上文),在双尾测试中也是如此 选择临界值以达到预先定义的尺寸 test.

大小可以计算为 follows:[eq15]

通过再次假设检验统计量是连续随机数 variable, we obtain[eq16]哪里 $Fleft( z
ight) $ 是...的分布函数 $ t_ {n} $.

我们的问题是在两个未知数中求解一个方程 ($ z_ {1}$ and $ z_ {2} $)。 这个问题有潜在的无限解决方案,因为可以选择 随意选择两个关键值之一,然后选择其余一个,以便 解方程。没有一般的规则选择一个特定的 解。一种可能是尝试找到最大程度地提高解决方案的解决方案。 power of the test in correspondence of a given alternative hypothesis。另一种可能性是找到最大化解决方案 接受间隔的长度 [eq17]. 我们在这里不讨论这些可能性,但请读者参考Berger。 和Casella(2002)。相反,我们讨论测试统计量的情况 具有对称分布。这是实际中最相关的情况 因为在很多测试中 $ t_ {n} $ 具有正态分布或学生t分布,这两个分布都是 symmetric.

分布是对称的(大约为零) when[eq18]为了 any number $ z $.

我们可以通过以下两个假设来利用这一事实: critical values are opposite:[eq19]

不失一般性,我们可以 assume[eq20]$ zgeq 0 $.

因此,可以写出测试的大小 as[eq21]和 要解决的方程式 becomes[eq22]

这是一个未知数中的等式 ($ z $) 可以使用方法(数值反转,表格等)解决 在上一节中有关单尾测试的内容中进行了讨论。

概要

我们到目前为止所说的一切总结如下 table.[eq23]

更多细节

如果您想阅读关于批判概念的更详细说明 价值和相关概念,请前往以 Hypothesis testing.

参考文献

Berger,R. L.和G. Casella(2002),“统计推断”,Duxbury Advanced Series.

继续阅读词汇表

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如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "临界值", Lectures on probability theory and mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.enerxy-china.com/glossary/critical-value.

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