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一致的估计量

通过 博士

An estimator 给定参数的 要保持一致 converges in probability 样本量趋向于达到参数的真实值 infinity.

目录

定义

在给出一致估计的正式定义之前,让我们简要介绍一下 突出显示参数估计问题的主要元素:

在观察之前,样本 $ xi _ {n} $ is regarded as a random variable. Therefore, [eq2], which depends on $ xi _ {n} $, 也是一个随机变量。

When needed, we can write[eq3]至 强调事实是估计量 [eq4] 是样本的函数 $ xi _ {n} $.

现在,假设我们能够收集新数据并增加样本量 n 无限期地获取样本序列 [eq5] 和一系列估计量 [eq6]. 如果估计的这个“虚构”序列在概率上收敛到 如果参数值为true,则称其为一致。

定义 估计量序列 [eq7] 据说是一致的,当且仅当 if[eq8]哪里 $ QTR {rm} {plim} $ 表示概率收敛。

注意,我们定义了“一致的估计序列”。但是我们该怎么办 “一致估计量”是什么意思?后者通常是非正式使用的 表示1)相同的预定义规则用于生成所有 估计中的序列与那个2)序列是一致的。就这样 一致性的概念从估计序列到规则 用于生成它。例如,假设规则是“计算 样本均值”,因此 [eq9] is a sequence of sample means over 样本数量不断增加。如果 [eq10] 概率收敛到生成 样本,那么我们说 [eq10] 是一致的。通过稍微滥用语言,我们还说样本的意思是 是一个一致的估计量。

例子

下表包含一致估计量的示例(带有指向 证明一致性的讲座)。

Estimator Estimated parameter 可以找到证明的讲座
Sample mean Expected value 均值估计
Sample variance Variance 估计方差
OLS estimator 线性回归系数 OLS估计器的属性
最大似然估计 分布的任何参数 最大似然

估计量不一致

估计不一致的估计被称为不一致。

一致且渐近正常

您会经常读到,给定的估计量不仅一致,而且 渐近正态,即其分布收敛于正态 随样本数量的增加而分布。您可能会认为收敛到 正态分布与一致性暗示的事实不一致 概率收敛到一个常数(真实参数值)。其他 话,您可能会问自己:“是收敛到一个常数还是一个常数 分布?”。要回答这个问题,我们应该给出更精确的 渐近正态的定义。

Consider the ratio [eq12]什么时候 [eq10] 是一致的,两者的区别 [eq14] and the standard deviation [eq15] converge to zero as n 趋于无穷大。但是,它们的比率可以收敛到分布。什么时候 it converges to a standard normal distribution,然后是顺序 [eq10] 据说是渐近正常的。

渐近正态的实际结果是,当 n 很大,我们可以用标准法线近似上述比率 分配。它遵循 [eq4] 可以用均值的正态分布来近似 $ heta _ {0} $ 和标准偏差 [eq18]. 但是后者收敛到零,因此分布变得更大,并且 更加集中于均值,最终收敛到一个常数。

更多细节

关于一致性的讨论,请参见 Point estimation.

继续阅读词汇表

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如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "一致的估计量", Lectures on probability theory and mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.enerxy-china.com/glossary/consistent-estimator.

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