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条件概率密度函数

经过 ,博士学位

连续随机变量的概率分布可以是 characterized by its probability density function (PDF)。当随机的概率分布 通过考虑一些产生的信息,更新变量 到有条件的概率分布,那么这种分布可以是 以条件概率密度函数为特征。

目录

定义

以下是正式定义。

定义 Let X and Y 是两个连续随机变量。条件概率密度 function of X given Y = Y. is a function [eq1] such that[eq2]为了 any interval [eq3].

在上面的定义中 [eq4]是 the conditional probability that X 将属于间隔 $ left [A,B
Ight] $, given that Y = Y..

如何派生它

为了得出给定的连续随机变量的条件PDF 实现另一个,我们需要了解他们的联合概率 密度函数(见 this glossary entry 了解联合PDF的工作)。

假设我们被告知两个连续的随机变量 X and Y 具有联合概率密度函数 [eq5].

然后,我们也被告知实现了 Y 已被观察到 $ y = y $, where $ y $ 表示观察到的实现。

我们如何计算条件概率密度函数 X 以便考虑新信息?

这是分两步完成的:

  1. 首先,我们计算 marginal density of Y 通过整合联合 density:[eq6]

  2. 然后,我们使用条件密度 formula:[eq7]

例子

让我们做一个例子。

假设联合概率密度函数 X and Y is[eq8]

The support of Y (即,可能的实现的集合) is[eq9]

When [eq10], the marginal pdf of Y is[eq11]

When [eq12], the marginal pdf of Y is [eq13] because [eq14]和 它的积分为零。

通过将两件放在一起,我们 obtain[eq15]

因此,条件PDF X given $Y=2$ is[eq16]

请注意,我们不需要担心归零(即,案例) [eq17]) 因为实现了 $ y $ 始终属于支持 Y 而且,因此, [eq18].

如何用于建立联合密度

我们刚刚解释了如何从联合PDF获得条件PDF,但是 事情也可以进行其他方式:如果我们被赋予边缘PDF [eq19] and the conditional [eq20], 然后可以通过执行简单来源的联合分布 multiplication:[eq21]

更多细节

有关有条件概率密度函数的更多细节可以找到 在讲座中题为 有条件的概率 distributions.

继续阅读词汇表

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如何引用

请引用:

Taboga, Marco (2017). "条件概率密度函数", Lectures on probability theory and mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.enerxy-china.com/glossary/conditional-probability-density-function.

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